更换主元法

解题步骤

按顺序做。标了条件的技能，只在题目符合那个条件时才用。

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   更换主元

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   「对所有 $m\in[1,3]$」说明 $m$ 在区间里变化，它是主角；$x$ 是要求的量，求解时先把它当作一个固定的数。

   把含 $m$ 的项合在一起，写成「系数 $\times m$ + 常数」。例如 $mx^2-mx-6+m$ 合并含 $m$ 的三项，得 $f(m)=(x^2-x+1)m-6$，系数是 $x^2-x+1$，常数项是 $-6$。

   这一步用到

   • 代数式化简
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   看恒成立要用最大值还是最小值

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   「$f(m)<0$ 对所有 $m\in[1,3]$ 成立」就是 $f(m)$ 在 $[1,3]$ 上的最大值 $<0$。如果是「存在 $m$ 使 $f(m)<0$」，只要最小值 $<0$。

   这一步用到

   • 将恒成立与存在成立转化为值域或最值条件
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   由系数正负找最值在哪一端

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   一次函数在闭区间上的最值总在两端取到。本例系数 $x^2-x+1=\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}>0$，$f(m)$ 随 $m$ 增大而增大，最大值是 $f(3)$。

   一次项系数的符号不固定时，先分为大于零、等于零、小于零的情况；不可能的情况不单列。同号的参数范围即使不连续，也归入同一种情况。

   每种情况先看函数图像确定所需最值的位置，再计算端点值。系数为零时按常数函数判断。开区间或半开区间还要区分确界能否取得。

   这一步用到

   • 求一次函数及常函数在区间上的最值与值域

   换 m 为主元：一次函数只看两端

   例：对 $1\le m\le3$，$(x^2-x+1)m-6<0$ 恒成立，求 $x$。固定 $x$ 后它是 $m$ 的一次函数；图中对比 $x=0$（两端都在横轴下方）与 $x=2$（右端在上方）。

   例：x = 0 时 f(m) = m − 6，两端都在横轴下方；x = 2 时 f(m) = 3m − 6，右端跑到上方

   • 斜率恒正／恒负→最值在确定的一端
   • 斜率符号不定→两端都要看

   一次函数在区间上恒 < 0 ⇔ 两个端点值都 < 0

   图解交互正在加载；正文与题例可直接阅读。

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   解出要求的字母

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   $f(3)=3(x^2-x+1)-6<0$，化简得 $x^2-x-1<0$。两根为 $\frac{1\pm\sqrt5}{2}$，开口向上，取两根之间：$\frac{1-\sqrt5}{2}<x<\frac{1+\sqrt5}{2}$。

   每种情况内，先根据量词、比较方向和确界可达性写出条件，求解后与本情况的参数范围取交集。

   这一步用到

   • 不等式变形与推导
   • 二次函数图像法得到关于要求字母的二次不等式时
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   合并各情况的结果

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   把各情况已求出的范围取并集。斜率为零的参数点已经按常数是否满足原关系单独判断，不能因为开端点取不到而把它误加进去。

背后用到的知识

上面各步骤用到的性质和公式。做一道具体的题，通常只用到其中一部分。

易错

例题