高中数学知识图谱必修一 · 第 2 章技能

求一次函数及常函数在区间上的最值与值域

看 y = ax + b 的斜率 a 是正、负还是 0，把区间端点代进去，读出值域和最大、最小值。

出现在2.3 二次函数与一元二次方程、不等式拓展

依据的知识 2

函数的值域与最值必修一·3章一次函数

用到它的方法 2

分离参数法更换主元法

推荐它的判断 1

区间求值技能选择

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什么时候用

看到什么想到它: 要求 $ax+b$ 在某个区间上的取值范围或最值；常见于分离参数之后，不等号另一边剩下一个一次式（或常数）。
做完得到什么: 函数在这个区间上的值域，以及最大值、最小值和取到它们的 $x$ ；端点取不到的那一侧，就没有对应的最值。
要注意: 开区间的端点代进去得到的值取不到，值域那一侧也要写成开的； $a$ 含字母、正负不确定时，要分 $a>0$ 、 $a<0$ 、 $a=0$ 讨论。

操作步骤

看斜率的正负 #
$a>0$ 时函数递增， $a<0$ 时递减， $a=0$ 时就是常数 $b$ 。例如 $-2x+3$ 的 $a=-2<0$ ，在 $(1,4]$ 上递减。
把端点代进去，保留开闭 #
递增时左端点给最小值、右端点给最大值；递减时反过来。端点是闭的，对应的值取得到；是开的，取不到。
例如 $-2x+3$ 在 $(1,4]$ 上： $x=4$ 得 $-5$ ，能取到； $x=1$ 得 $1$ ，但 $1$ 不在区间里，这个值取不到。所以值域是 $[-5,1)$ ，最小值 $-5$ ，没有最大值。
区间一端是无穷时，函数值朝那边无限增大或减小，例如 $-2x+3$ 在 $[0,+\infty)$ 上的值域是 $(-\infty,3]$ 。
斜率为 0 时直接写常数 #
$a=0$ 时函数就是 $y=b$ ，值域是 $\{b\}$ ，最大值和最小值都是 $b$ ，即使区间是开的也一样。

说明与题例

1. 下降直线

求 $-2x+3$ 在 $(1,4]$ 上的值域。

函数递减， $x=4$ 得 $-5$ 可取，靠近 $1$ 时趋近 $1$ 不取，值域为 $[-5,1)$ 。

本页说明例

内容出处：人教 A 版必修第一册第二章