配凑定和或定积结构

什么时候用

看到什么想到它: 想用基本不等式，但两项的积（或和）还不是定值，例如 $x>1$ 时求 $x+\frac{1}{x-1}$ 的最小值，而 $x\cdot\frac{1}{x-1}$ 不是定值。
做完得到什么: 改写好的式子：两项的积（或和）是定值，外加一个补回来的常数。例如 $x+\frac{1}{x-1}=(x-1)+\frac{1}{x-1}+1$ ，前两项的积为 $1$ 。
要注意: 加上去的数要再减掉，补回来的常数最后不能漏；凑出定值后还要检查等号能否取到，取不到时这个界就不是最值。

照着分母定下要凑的两项 #
两项通常照着分母或根号里的式子来定。分母是 $x-1$ ，另一项就凑成 $x-1$ ，这样 $(x-1)\cdot\frac{1}{x-1}=1$ 是定值。
有系数时连系数一起凑，例如分母是 $x-1$ 时 $2x=2(x-1)+2$ 。
缺什么补什么，多的减掉 #
$x$ 比 $x-1$ 多出 $1$ ，所以 $x=(x-1)+1$ ，原式 $=(x-1)+\frac{1}{x-1}+1$ 。
如果是乘上一个已知等于 $1$ 的式子（如条件 $x+y=1$ ），要写明它为什么等于 $1$ 。
配凑：原式 = 方框 + 圆圈 + 常数
例： $x>1$ ，求 $2x+\frac2{x-1}$ 的最小值。按分母把 $2x$ 写成 $2(x-1)+2$ ，两项积为定值，补进的常数 $2$ 留在式外。

原式=++常数

例 $2 x + \frac{2}{x - 1}$ = $2 (x - 1)$ + $\frac{2}{x - 1}$ + $2$

补进的常数要在式外减回

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合并回去检查，写出定值 #
把 $(x-1)+\frac{1}{x-1}+1$ 合并，确认等于 $x+\frac{1}{x-1}$ 。
再写出两项的积 $(x-1)\cdot\frac{1}{x-1}=1$ ，并确认 $x>1$ 时两项都是正数。

$x>1$ ，改写 $x+\frac{1}{x-1}$ 。

本页说明例

内容出处：人教 A 版必修第一册第二章