基本不等式

公式

公式与取等 #

$\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}$，等价地 $a+b\ge2\sqrt{ab}$，等号当且仅当 $a=b$。

为什么成立：$(\sqrt a-\sqrt b)^2\ge0$ 展开得 $a-2\sqrt{ab}+b\ge0$，即 $a+b\ge2\sqrt{ab}$；等号当且仅当 $\sqrt a=\sqrt b$，即 $a=b$。

成立条件：本节采用 $a,b>0$ 的表述；定和或定积不是公式成立的条件。

用到这一条的技能应用基本不等式

定义

两种平均数 #

$\frac{a+b}{2}$ 是算术平均数，$\sqrt{ab}$ 是几何平均数。

成立条件：$a,b>0$。

性质

定积求和 #

若 $uv=P>0$，则 $u+v\ge2\sqrt P$。当允许 $u=v=\sqrt P$ 时，最小值为 $2\sqrt P$。

成立条件：$u,v>0$，积固定，取等点满足全部约束。

用到这一条的技能配凑定和或定积结构

性质

定和求积 #

若 $u+v=S>0$，则 $uv\le \frac{S^2}{4}$。当允许 $u=v=\frac{S}{2}$ 时，最大值为 $\frac{S^2}{4}$。

$uv\le\left(\frac{u+v}2\right)^2$ 本身对任意实数都成立，它等价于 $(u-v)^2\ge0$。

成立条件：$u,v>0$，和固定，取等点满足全部约束。

用到这一条的技能配凑定和或定积结构

使用要点

求最值前检查：一正、二定、三相等 #

一正：两项都是正数。二定：两项的和或积是定值。三相等：取等条件在题目的约束下能够成立。

三条都满足，求得的界才是最值；任何一条不满足，都要先变形或改用其他方法。

成立条件：用于求最值；只证明 $a+b\ge2\sqrt{ab}$ 本身时只需要两项为正。

性质

有界不等于取得最值 #

求得一个下界还不等于求得最小值。例如 $x>2$ 时 $x+\frac{1}{x}\ge2$ 仍成立，但 $x=1$ 不可行，不能据此称最小值为 $2$。

成立条件：变量均为实数。