全称量词与存在量词

性质

全称量词 #

$\forall x\in D,P(x)$ 表示 $D$ 中每一个 $x$ 都满足命题 $P(x)$。

成立条件：变量均为实数。

用到这一条的技能将恒成立与存在成立转化为值域或最值条件必修一·2章

性质

存在量词 #

$\exists x\in D,P(x)$ 表示 $D$ 中至少有一个 $x$ 满足 $P(x)$；不等式在该范围内“有解”也是这一要求。

成立条件：变量均为实数。

用到这一条的技能将恒成立与存在成立转化为值域或最值条件必修一·2章

性质

分清量词变量和要求的量 #

题中跟在「对所有」「存在」后面、在给定范围里变动的字母，叫量词变量；题目最后要求范围的字母，是要求的量。两者要按题意分，不能按字母习惯分。

例如「对所有 $m\in[1,3]$，$(x^2-x+1)m-6<0$ 恒成立，求 $x$ 的范围」：$m$ 是量词变量，$x$ 是要求的量。不能因为习惯把 $x$ 当自变量，就把左边看成 $x$ 的二次函数。

应把左边看成 $m$ 的一次函数。因为 $x^2-x+1>0$，它随 $m$ 增大而增大，只需 $m=3$ 时成立：$3(x^2-x+1)-6<0$，即 $x^2-x-1<0$，得 $\frac{1-\sqrt5}{2}<x<\frac{1+\sqrt5}{2}$。

成立条件：变量均为实数。

性质

量词的取值范围 #

$\forall x\in D$、$\exists x\in D$ 里的 $D$ 是变量允许取值的范围。它可以是一个区间，如 $x\in[1,3]$；也可以由几个条件一起规定，如满足 $x>0,y>0,x+y=1$ 的全部 $(x,y)$。

把「对所有 $x\in D$，$f(x)>c$」改成「$f(x)$ 在 $D$ 上的最小值大于 $c$」之前，先确认 $D$ 里至少有一个可取的值。范围含参数时尤其要注意：范围写成 $[a,2]$，就要先有 $a\le2$。

$D$ 是空集时没有最小值可谈，要直接按意思判断：「对所有 $x\in D$ 都成立」自动为真，因为找不到不成立的 $x$；「存在 $x\in D$ 使之成立」一定为假，因为一个 $x$ 也没有。

成立条件：变量均为实数。