应用基本不等式的恒成立与存在成立问题

题型特征

典型题面

已知 $x,y>0$ ， $(x-1)(y-2)=2$ 。若 $3x+2y>m$ 对所有满足条件的 $x,y$ 都成立，求 $m$ 的取值范围。

认这类题，看题面里有没有下面几样：

有「恒成立」「对所有……都成立」或「存在……使得成立」这样的话，要求的是参数的范围、最小值或最大值。
例中「 $3x+2y>m$ 对所有满足条件的 $x,y$ 都成立」，求 $m$ 的取值范围。
参数能单独放在不等号一边，另一边的式子需要求最小值或最大值。
例中 $m$ 已经单独在右边，「对所有都成立」就是要 $3x+2y$ 的最小值比 $m$ 大。
这个最值能用基本不等式求：能凑出两个正数，它们的积或和是定值。
例中令 $u=x-1$ ， $v=y-2$ ，可以推出都是正数且 $uv=2$ ； $3x+2y=3u+2v+7$ ，而 $3u\cdot2v=12$ 是定值。
最后要看最值取不取得到、不等号带不带等号，决定参数范围的端点要不要。
例中最小值 $7+4\sqrt3$ 取得到，题目又是严格的 $>$ ，所以 $m<7+4\sqrt3$ ，端点不要。

别和它混淆

适合什么题：参数单独在不等号一边，另一边是能用基本不等式求最值的式子，要求恒成立或有解，例如 $x,y>0$ ， $(x-1)(y-2)=2$ 时 $3x+2y>m$ 恒成立，求 $m$ 。

含参数的不等式要恒成立或有解时，先弄清需要式子的最小值还是最大值，再用基本不等式求出这个最值，最后和参数比较定出范围。

$x,y>0,(x-1)(y-2)=2$ ，使 $3x+2y>m$ 对全部可行 $(x,y)$ 成立，求 $m$ 。

补充练习第 2 页第 2 题

内容出处：人教 A 版必修第一册第二章