数学说

高中数学知识图谱必修一 · 第 2 章题型

含参一元二次不等式的恒成立与存在成立问题

在给定范围内，二次不等式要对所有取值都成立（或至少一个取值成立），求参数的范围、最小值或最大值。

出现在2.3 二次函数与一元二次方程、不等式拓展

涉及的知识 4

函数的值域与最值必修一·3章二次函数一元二次不等式全称量词与存在量词必修一·1章

选法判断 1

含参一元二次不等式的选法判断
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题型特征

典型题面

若对所有 x∈[2,3]x\in[2,3]，都有 (x−1)2+2≤m(x-1)^2+2\le m，求 mm 的取值范围。

认这类题，看题面里有没有下面几样：

  1. 有「对所有……都成立」「恒成立」或「存在……使得成立」，并给出这个变量的范围。

    例中「对所有 x∈[2,3]x\in[2,3]」：变量是 xx，范围是 [2,3][2,3]。

  2. 不等式里有二次式，要求的是参数的范围、最小值或最大值。

    例中(x−1)2+2(x-1)^2+2 是二次式，要求的是 mm。

  3. 通常转化成二次函数在这个范围上的最大值或最小值，再和参数比较。

    例中对所有 xx 都 ≤m\le m，就是最大值不超过 mm：[2,3][2,3] 上最大值是 66，所以 m≥6m\ge6。

  4. 先看清「对所有」后面的变量是谁，它不一定是 xx。

    例中本例是 xx；如果写成「对所有 m∈[1,3]m\in[1,3]」，就要把 mm 当变量、把 xx 当参数。

别和它混淆

怎么选方法

用含参一元二次不等式的选法判断来选：满足哪一条，就可以用对应的方法；几条同时满足时，挑顺手的。

  • 量词变量取全体实数，式子关于它是二次的，要求恒成立或存在实数使其成立；四种关系 >>、≥\ge、<<、≤\le 都要结合量词和开口判断。二次项系数含参数时，先单独处理系数为 00 的情况。判别式法
  • xx 在给定区间内取值，区间可以是有限区间、半无限区间或全体实数 R\mathbb R；能求出相关函数在该范围上的最大值、最小值（二次函数、一次函数或对勾函数），最值取不到时要单独看等号。xx 取全体实数时，判别式法通常更直接，优先用判别式法。区间最值法
  • xx 在题目给定的范围里取值（常见是某个区间，全体实数也可以）；能把参数（或含参数的式子）移到不等号一边，另一边只含 xx，并且能求出这一边在该范围上的最大值或最小值。除以含 xx 的式子之前，要能确定它在这个范围上的正负。分离参数法
  • 给出范围的是参数（如 m∈[1,3]m\in[1,3]），要求的却是 xx；把式子按这个参数整理后是一次式或常数，就看区间两端。更换主元法

说明与题例

1. 选择二次函数求值技能

对所有 x∈[2,3]x\in[2,3]，要求 (x−1)2+2≤m(x-1)^2+2\le m，求 mm。

  1. 全称且比较方向为“小于等于”，需要函数最大值不超过 mm。
  2. 规则选择二次函数区间求值技能，算得值域 [3,6][3,6]。
  3. 最大值 66 可达，参数范围 m≥6m\ge6。

本页说明例

2. 量词变量是 m

对所有 m∈[1,3]m\in[1,3]，(x2−x+1)m−6<0(x^2-x+1)m-6<0，求 xx。

  1. 看作关于 mm 的一次式，其系数 x2−x+1=(x−12)2+34>0x^2-x+1=\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}>0。
  2. 最大值在 m=3m=3 取到，要求 3(x2−x+1)−6<03(x^2-x+1)-6<0。
  3. 解 x2−x−1<0x^2-x-1<0，得 1−52<x<1+52\frac{1-\sqrt5}{2}<x<\frac{1+\sqrt5}{2}。

一元二次不等式专题 Q08 · 打开原题

内容出处：人教 A 版必修第一册第二章