高中数学知识图谱必修一 · 第 2 章技能

将恒成立与存在成立转化为值域或最值条件

把「对所有 x 都成立」「存在 x 使之成立」翻译成函数的值域或最大值、最小值要满足的条件。

出现在2.3 二次函数与一元二次方程、不等式拓展

依据的知识 2

函数的值域与最值必修一·3章全称量词与存在量词必修一·1章

用到它的方法 4

基本不等式求参法区间最值法分离参数法更换主元法

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什么时候用

看到什么想到它: 要求常数（或参数）的范围，看到「对任意 $x$ 恒成立」或「存在 $x$ 使……成立」，而且这个常数已经单独放在不等号一边，例如 $x\in[1,2]$ 时 $x^2<c$ 恒成立，求 $c$ 。
做完得到什么: 一个只含 $c$ （或参数）的不等式，例如「 $c$ 大于 $x^2$ 在 $[1,2]$ 上的最大值 $4$ 」，解出来就是答案。
要注意: 恒成立看最不利的值，存在成立看最有利的值：要求 $c>$ 函数值时，恒成立看最大值，存在成立看最小值；最大值或最小值取不到时，要单独判断等号能不能取。

操作步骤

分清是恒成立还是存在成立 #
恒成立：范围里每一个 $x$ 都要满足；存在成立：只要找到一个 $x$ 满足就行。例如 $x\in[1,2]$ 时，「 $x^2<c$ 恒成立」要求每个 $x$ 都有 $x^2<c$ ，「存在 $x$ 使 $x^2<c$ 」只要有一个就够。
求出函数值的范围 #
先求不含 $c$ 的那一边在给定范围上的值域。例子中 $x^2$ 在 $[1,2]$ 上递增，值域是 $[1,4]$ 。
于是恒成立就是「值域里每个数都 $<c$ 」，存在成立就是「值域里至少有一个数 $<c$ 」。
用最值写条件，看端点取不取得到 #
每个数都 $<c$ ，只要最大的那个 $<c$ ： $c>4$ 。至少一个数 $<c$ ，只要最小的那个 $<c$ ： $c>1$ 。
最值取不到时要小心等号。例如 $x\in[1,2)$ 时值域是 $[1,4)$ ， $4$ 取不到，所以 $x^2<c$ 恒成立只要 $c\ge4$ 。

说明与题例

1. 恒成立与存在成立

$x\in[1,2]$ ， $x^2<c$ 恒成立或存在成立分别要求什么？

值域为 $[1,4]$ 。恒成立要求 $c>4$ ，存在成立要求 $c>1$ 。

本页说明例

内容出处：人教 A 版必修第一册第二章