因式分解

操作步骤

1. 先看能不能直接套公式 #

   平方差 $u^2-v^2=(u-v)(u+v)$，如 $x^2-9=(x-3)(x+3)$；完全平方 $u^2\pm2uv+v^2=(u\pm v)^2$，如 $x^2+6x+9=(x+3)^2$。

2. 系数是整数时试十字相乘 #

   $x^2+bx+c$：找两个数，乘积是 $c$、和是 $b$。例如 $x^2-5x+6$，$(-2)\times(-3)=6$，$(-2)+(-3)=-5$，所以 $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$。

   $x^2$ 前有系数时，把 $ax^2$ 和 $c$ 各拆成两个因式，竖着写成两列。例如 $2x^2-x-1$：

   $$\begin{array}{ccc}x&&-1\\&\Large\times&\\2x&&1\end{array}\qquad\text{交叉：}x\cdot1+2x\cdot(-1)=-x$$

   左列相乘是 $2x^2$，右列相乘是 $-1$，交叉相乘再相加是 $-x$，正好等于一次项，所以横着读出 $2x^2-x-1=(x-1)(2x+1)$。试几组都凑不出来，就换下一步的求根法。

3. 凑不出来就先求根 #

   解出 $ax^2+bx+c=0$ 的两根 $x_1,x_2$，就有 $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$，前面的 $a$ 不能丢。例如 $x^2-2x-1$ 用十字相乘凑不出来，求根得 $1\pm\sqrt2$，所以 $x^2-2x-1=(x-1-\sqrt2)(x-1+\sqrt2)$。

   没有实根时（如 $x^2+x+1$，判别式 $1-4<0$），不能分解成实数范围内的一次因式。

4. 乘回去检查 #

   把因式乘开，逐项和原式比，尤其看 $x^2$ 前的系数有没有丢：$(x-1)(2x+1)=2x^2+x-2x-1=2x^2-x-1$。

说明与题例