作差比较法

解题步骤

按顺序做。标了条件的技能，只在题目符合那个条件时才用。

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   前式减后式

   #

   先说清谁减谁，记差 $D=A-B$。例子中 $D=(x+2)(x+3)-(x+1)(x+4)$。

2. 2

   把差化简到能看出正负

   #

   展开、合并同类项。例子中 $D=(x^2+5x+6)-(x^2+5x+4)=2$。

   合并后还看不出正负时，配方成「平方加常数」，或者分解成几个因式相乘。例如 $x^2-2x+3=(x-1)^2+2$，一眼看出它大于 $0$。

   这一步用到

   • 代数式化简
   • 配方差里有 x² 和 x 项、能配成平方加常数时
   • 因式分解差能分解成几个因式相乘时
3. 3

   判断差的正负

   #

   结合 $x$ 的范围判断 $D$ 大于、等于还是小于 $0$。例子中 $D=2>0$，对所有实数 $x$ 都成立。

   正负随 $x$ 变化时要分情况。例如 $D=(x-1)(x-2)$：$x<1$ 或 $x>2$ 时 $D>0$；$1<x<2$ 时 $D<0$；$x=1$ 或 $x=2$ 时 $D=0$。

   这一步用到

   • 不等式变形与推导
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   写出谁大谁小

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   $D>0$ 得 $A>B$，$D=0$ 得 $A=B$，$D<0$ 得 $A<B$。例子中 $(x+2)(x+3)>(x+1)(x+4)$ 对所有实数 $x$ 成立。

背后用到的知识

上面各步骤用到的性质和公式。做一道具体的题，通常只用到其中一部分。

例题