一元二次方程

定义

定义 #

$ax^2+bx+c=0$ 是一元二次方程，其中 $a,b,c\in\mathbb R,a\ne0$。

成立条件：参数使 $a=0$ 时另按一次方程或常数关系处理。

性质

判别式与实根 #

令 $\Delta=b^2-4ac$。$\Delta>0$ 有两个不等实根；$\Delta=0$ 有两个相等实根；$\Delta<0$ 无实根。

成立条件：实系数，二次项系数 $a\ne0$。

用到这一条的技能根据开口与零点判断二次式的正负求解一元二次方程

公式

求根公式 #

$x=\frac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a}$。当 $a<0$ 时，带减号的形式不一定是较小根。

成立条件：$a\ne0,\Delta\ge0$。

用到这一条的技能求解一元二次方程

性质

根与系数及因式分解 #

若 $r_1,r_2$ 为实根，则 $r_1+r_2=-\frac{b}{a}$，$r_1r_2=\frac{c}{a}$，且 $ax^2+bx+c=a(x-r_1)(x-r_2)$。

成立条件：实系数，$a\ne0,\Delta\ge0$。

用到这一条的技能因式分解由解集提取二次式的根与系数条件求解一元二次方程

性质

已知和与积，两个实数是否存在 #

问题：能不能找到两个实数 $u,v$，使 $u+v=s$，$uv=p$？

由根与系数关系，方程 $t^2-st+p=0$ 的两根之和正是 $s$、之积正是 $p$；反过来，满足要求的 $u,v$ 一定是这个方程的两根。所以找 $u,v$，就是解这个方程。

因此只看判别式：$s^2-4p\ge0$ 时存在，$s^2-4p<0$ 时不存在。例如和为 $4$、积为 $5$：$16-20<0$，找不到这样的两个实数。

若题目还要求 $u,v$ 都是正数，只看判别式不够，还须 $s>0$ 且 $p>0$。例如 $s=-3,p=2$ 时 $9-8\ge0$，两数是 $-1,-2$，都不是正数。

成立条件：$s,p\in\mathbb R$。若题目限定 $u,v$ 的范围，要把两根求出来逐一检查。

用到这一条的技能用和与积表示对称式