将分式不等式转化为整式不等式

操作步骤

1. 先写下分母不为 0 #

   从原题开始，把每个分母都要求不为 $0$，包括通分之前的分母。例如 $\frac{2-x}{3x+1}\ge1$ 要求 $3x+1\ne0$，即 $x\ne-\frac{1}{3}$。

2. 两边同乘分母的平方 #

   分母 $Q\ne0$ 时 $Q^2>0$，两边同乘正数，不等号方向不变。因为 $\frac{P}{Q}\cdot Q^2=PQ$，所以 $\frac{P}{Q}\ge0$ 变成 $PQ\ge0$；$>$、$<$、$\le$ 也一样。

   例如 $\frac{1-4x}{3x+1}\ge0$ 变成 $(1-4x)(3x+1)\ge0$。但 $PQ\ge0$ 会把 $Q=0$ 的点也算进来，所以上一步记下的条件不能丢。

3. 写出整式不等式，带上限制 #

   最后写成 $(1-4x)(3x+1)\ge0$ 且 $x\ne-\frac{1}{3}$。前者解得 $-\frac{1}{3}\le x\le\frac{1}{4}$，去掉 $-\frac{1}{3}$，得 $-\frac{1}{3}<x\le\frac{1}{4}$。

   中途约掉公因式时，原来让分母为 $0$ 的 $x$ 仍然要排除。

说明与题例