平方的非负性 · 数学说

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性质

$u^2\ge0$ ，等号当且仅当 $u=0$ 。

成立条件：变量均为实数。

性质

$u^2+v^2-2uv=(u-v)^2\ge0$ ，所以 $u^2+v^2\ge2uv$ ，等号当且仅当 $u=v$ 。

成立条件： $u,v\in\mathbb R$ ，不要求为正。

性质

$(u+v)^2-4uv=(u-v)^2\ge0$ 。若记 $s=u+v,p=uv$ ，则 $s^2\ge4p$ 。

成立条件：变量均为实数。

取 $u=-2,v=-3$ ，检验 $u^2+v^2\ge2uv$ 。

本页说明例

说明 $x^2+\frac{1}{x^2}\ge2$ 的条件。

本页说明例

面积演示采用正边长；正文中的平方非负结论适用于任意实数。含 $\frac{1}{x}$ 的示例均要求 $x\ne0$ 。

任何实数的平方都不小于 $0$ 。由 $(a-b)^2\ge0$ 得 $a^2+b^2\ge2ab$ ，也就是 $ab\le\left(\frac{a+b}2\right)^2$ ；对任意实数 $a$ 、 $b$ 都成立， $a=b$ 时取等。

四个 a × b 的长方形拼进边长 a + b 的正方形，拖动 a，看中间空出的部分：

$(a+b)^2=4ab+(a-b)^2\ge4ab$ ，中间的小正方形缩成一个点时（ $a=b$ ）取等。

这里不要求 $a$ 、 $b$ 为正。 $x$ 、 $y$ 可能是负数时，只能用 $xy\le\left(\frac{x+y}2\right)^2$ ，不能用 $x+y\ge2\sqrt{xy}$ 。

$\left(x-\frac1x\right)^2+2\ge2$ ，取等要 $x=\frac1x$ ，即 $x=\pm1$ 。先写出平方项，再让它等于 $0$ 。

令 $s=x+y$ 、 $p=xy$ ，实数 $x$ 、 $y$ 一定满足 $s^2\ge4p$ ；由条件解出 $s$ 的范围时要用上它。

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内容出处：人教 A 版必修第一册第二章