不等式的性质

性质

交换两端与传递 #

$a>b\iff b<a$；$a>b,b>c\Rightarrow a>c$。

成立条件：变量均为实数。

性质

同加减与同向相加 #

$a>b\iff a+c>b+c$。若 $a>b,c>d$，则 $a+c>b+d$；同向不等式不能直接相减。

需要相减时，先把 $c>d$ 化为 $-d>-c$，再与 $a>b$ 同向相加，得 $a-d>b-c$。

成立条件：变量均为实数。

用到这一条的技能不等式变形与推导

性质

乘除与方向 #

$a>b,c>0\Rightarrow ac>bc$；$a>b,c<0\Rightarrow ac<bc$。同除也按除数符号判断，除数不能为零。

成立条件：变量均为实数。

用到这一条的技能不等式变形与推导将分式不等式转化为整式不等式

性质

正数的同向乘法与乘方 #

$a>b>0,c>d>0\Rightarrow ac>bd$。$a>b>0\Rightarrow a^n>b^n$，其中 $n\in\mathbb N,n\ge2$。

成立条件：正性是本条乘法、乘方结论的前提。

性质

同号两数取倒数 #

$a>b$ 且 $ab>0$ 时，$\frac1a<\frac1b$，因为 $\frac1b-\frac1a=\frac{a-b}{ab}>0$。异号时不能套用这一变向规则。

成立条件：$a,b$ 同号且均不为零。

用到这一条的技能不等式变形与推导