分式不等式转化法

解题步骤

按顺序做。标了条件的技能，只在题目符合那个条件时才用。

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   先写下分母不为 0

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   把每个分母不为 $0$ 的条件先记下来，最后要用。例子中 $3x+1\ne0$，即 $x\ne-\frac{1}{3}$。

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   移项通分，让右边是 0

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   把所有项移到左边，通分成一个分式。例子中 $\frac{2-x}{3x+1}-1=\frac{2-x-(3x+1)}{3x+1}=\frac{1-4x}{3x+1}$，原不等式变成 $\frac{1-4x}{3x+1}\ge0$。

   移项时不要把分母乘过去：分母正负不知道，乘过去不知道要不要变号。

   这一步用到

   • 代数式化简
   • 不等式变形与推导
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   两边乘分母的平方，变成整式

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   分母不为 $0$ 时，它的平方一定大于 $0$，两边同乘它不用变号：$\frac{P}{Q}\ge0$ 变成 $PQ\ge0$，同时保留 $Q\ne0$。例子中得到 $(1-4x)(3x+1)\ge0$，且 $x\ne-\frac{1}{3}$。

   这一步用到

   • 将分式不等式转化为整式不等式
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   解这个整式不等式

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   乘出来是二次式时按一元二次不等式解：先求两根，再看开口。例子中两根是 $-\frac{1}{3}$ 和 $\frac{1}{4}$，展开后 $x^2$ 的系数是 $-12$，开口向下，「$\ge0$」取两根之间，得 $-\frac{1}{3}\le x\le\frac{1}{4}$。

   这一步用到

   • 二次函数图像法乘出来是一元二次不等式时
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   去掉让分母为 0 的点

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   把第一步记下的点从解集里去掉；带等号时，让分子为 $0$ 的点保留。例子中去掉 $x=-\frac{1}{3}$，保留 $x=\frac{1}{4}$，解集为 $\left(-\frac{1}{3},\frac{1}{4}\right]$。

背后用到的知识

上面各步骤用到的性质和公式。做一道具体的题，通常只用到其中一部分。

例题