由解集提取二次式的根与系数条件

操作步骤

1. 从端点读出两个根 #

   解集 $(1,2)$ 的端点 $1$ 和 $2$ 让二次式等于 $0$，所以它们就是方程 $x^2+ax+b=0$ 的两根。

   端点要来自不等式本身：如果题目另外规定了 $x>0$ 之类的范围，被这个范围截出来的端点不是根。

2. 看解集在两根之间还是之外，定开口 #

   对 $<0$ 的不等式：解集在两根之间，二次项系数为正（开口向上）；解集在两根之外，二次项系数为负（开口向下）。$>0$ 的不等式正好相反。

   例子中 $x^2+ax+b$ 的二次项系数是 $1>0$，开口向上，$<0$ 的部分正好在两根之间，和解集 $(1,2)$ 吻合。

3. 用两根列出系数方程 #

   设两根为 $x_1,x_2$，对 $Ax^2+Bx+C$ 有 $x_1+x_2=-\frac{B}{A}$，$x_1x_2=\frac{C}{A}$。例子中 $1+2=-a$，$1\times2=b$，得 $a=-3$，$b=2$。

   也可以把 $x=1$、$x=2$ 分别代入 $x^2+ax+b=0$：$1+a+b=0$，$4+2a+b=0$，两式相减得 $a=-3$，再得 $b=2$。

说明与题例