高中数学知识图谱必修一 · 第 2 章方法

解集反推法

已知二次不等式的解集，倒过来求式子里的参数，最后代回去检查解集是否完全一样。

出现在2.3 二次函数与一元二次方程、不等式拓展

用到的技能 2

等式变形与推导由解集提取二次式的根与系数条件

用到的方法 1

二次函数图像法

可选用它的题型 1

由一元二次不等式的解集求参数

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什么时候用

适合什么题: 题目直接给出二次不等式的解集，要求式子里的字母，例如「 $x^2+ax+b<0$ 的解集为 $(1,2)$ ，求 $a,b$ 」。
最后要得到什么: 参数的值（或参数要满足的关系），并且代回后解出的解集和题目给的完全相同。
要注意: 只让端点代入后等于 $0$ 还不够，还要根据解集在两根之间还是两根之外判断开口方向；求出参数后一定要代回重新解一遍。

解题步骤

按顺序做。标了条件的技能，只在题目符合那个条件时才用。

1
从解集读出两个根和开口
#
解集的端点就是对应方程的根：解集 $(1,2)$ 说明 $x^2+ax+b=0$ 的两根是 $1$ 和 $2$ 。
再看符号：「 $<0$ 」的解在两根之间，说明开口向上，二次项系数为正；如果「 $<0$ 」的解在两根之外，开口就向下，二次项系数为负。
这一步用到
- 由解集提取二次式的根与系数条件
2
用两个根列方程求参数
#
由根与系数的关系： $1+2=-a$ ， $1\times2=b$ ，得 $a=-3$ ， $b=2$ 。也可以把 $x=1$ 、 $x=2$ 分别代入 $x^2+ax+b=0$ ，解方程组 $1+a+b=0$ 、 $4+2a+b=0$ ，结果相同。
二次项系数也含参数时（如 $ax^2+bx+c>0$ ），除了两根给出的方程，还要加上上一步读出的开口条件，比如 $a<0$ 。
这一步用到
- 等式变形与推导
3
代回去，重新解一遍
#
把 $a=-3$ ， $b=2$ 代回： $x^2-3x+2<0$ ，即 $(x-1)(x-2)<0$ ，解集正好是 $(1,2)$ 。
这一步防止只凑对了端点：如果开口方向弄反，解集会变成两根之外，端点对了，答案却是错的。
这一步用到
- 二次函数图像法

背后用到的知识

上面各步骤用到的性质和公式。做一道具体的题，通常只用到其中一部分。

等式的性质 · 同加同减等式的性质 · 等值替换与定义域等式的性质 · 同乘与非零同除不等式的性质 · 同加减与同向相加不等式的性质 · 乘除与方向不等式的性质 · 同号两数取倒数一元二次方程 · 判别式与实根一元二次方程 · 求根公式一元二次方程 · 根与系数及因式分解二次函数 · 零点与横轴一元二次不等式 · 全实数上的符号条件一元二次不等式 · 带不带等号：根是否在解集里一元二次不等式 · 开口与根决定符号不等式与实数大小关系 · 作差判号

例题

1. 反推后再验证

$x^2+ax+b<0$ 的解集为 $(1,2)$ ，求 $a,b$ 。

根是 $1,2$ ，开口向上；根与系数关系给出 $a=-3,b=2$ 。
代回为 $(x-1)(x-2)<0$ ，解集恰为 $(1,2)$ 。

补充练习第 1 页第 1 题

内容出处：人教 A 版必修第一册第二章