一元二次不等式

定义

定义与解集 #

$ax^2+bx+c>0$、$<0$、$\ge0$ 或 $\le0$ 的全部解组成解集，其中 $a\ne0$。

成立条件：实系数，二次项系数 $a\ne0$。若题目限定了 $x$ 的范围，解集只取这个范围内的部分。

性质

开口与根决定符号 #

判断 $f(x)=ax^2+bx+c$ 的值是正是负，只要知道两件事：开口方向，即 $a$ 的正负；抛物线与 $x$ 轴的交点，即方程 $f(x)=0$ 的实根。

有两个不等实根 $r_1<r_2$：两根之间（$r_1<x<r_2$），$f(x)$ 与 $a$ 符号相反；两根之外（$x<r_1$ 或 $x>r_2$），$f(x)$ 与 $a$ 符号相同。以 $a>0$ 为例，抛物线开口向上，只有夹在两根之间的那一段在 $x$ 轴下方。

两根相等，记为 $r$：$f(r)=0$，其余所有 $x$ 都使 $f(x)$ 与 $a$ 符号相同，因为抛物线只在顶点碰到 $x$ 轴。

没有实根：抛物线不碰 $x$ 轴，所有 $x$ 都使 $f(x)$ 与 $a$ 符号相同。

例如 $f(x)=x^2-x-2=(x+1)(x-2)$，$a=1>0$，两根为 $-1,2$：$-1<x<2$ 时 $f(x)<0$；$x<-1$ 或 $x>2$ 时 $f(x)>0$。

成立条件：实系数，二次项系数 $a\ne0$。若题目限定了 $x$ 的范围，只取这个范围内的部分。

用到这一条的技能根据开口与零点判断二次式的正负由解集提取二次式的根与系数条件

性质

带不带等号：根是否在解集里 #

不等号带等号（$\ge$、$\le$）时，方程 $f(x)=0$ 的根要放进解集；不带等号（$>$、$<$）时，根不放进解集。例如 $x^2-1\le0$ 的解集是 $[-1,1]$，$x^2-1<0$ 的解集是 $(-1,1)$。

成立条件：实系数，二次项系数 $a\ne0$。若题目限定了 $x$ 的范围，解集只取这个范围内的部分。

用到这一条的技能由解集提取二次式的根与系数条件

性质

全实数上的符号条件 #

$f(x)>0$ 对所有实数成立等价于 $a>0,\Delta<0$；$f(x)\ge0$ 等价于 $a>0,\Delta\le0$。恒负与恒非正分别为 $a<0,\Delta<0$ 与 $a<0,\Delta\le0$。

存在实数使 $f(x)>0$，等价于 $a>0$ 或（$a<0$ 且 $\Delta>0$）；存在实数使 $f(x)\ge0$，等价于 $a>0$ 或（$a<0$ 且 $\Delta\ge0$）。

存在实数使 $f(x)<0$，等价于 $a<0$ 或（$a>0$ 且 $\Delta>0$）；存在实数使 $f(x)\le0$，等价于 $a<0$ 或（$a>0$ 且 $\Delta\ge0$）。

全称检查整个解集是否为 $\mathbb R$；存在检查解集是否非空。特别是 $\Delta=0$ 时，唯一零点足够满足相应的非严格存在关系，却不能满足严格的异号关系。

成立条件：仅用于 $a\ne0$ 且研究范围是全部实数；$a=0$ 需单独处理。

用到这一条的技能根据开口与零点判断二次式的正负