用和与积表示对称式

操作步骤

1. 先换位检查，再设和与积 #

   令 $s=u+v,p=uv$ 之前，先把条件和要求的式子里的两个字母互换：都不变，才适合只用 $s$、$p$ 表示。

   例如 $x^2+y^2-xy=1$ 和 $x+y$ 互换 $x,y$ 后都不变，可以设 $s=x+y$，$p=xy$。

2. 用和与积改写常见式子 #

   $u^2+v^2=s^2-2p$；$u^2+v^2-uv=s^2-3p$；$\frac{1}{u}+\frac{1}{v}=\frac{s}{p}$，最后一个要求 $p\ne0$。

   例中条件 $x^2+y^2-xy=1$ 变成 $s^2-3p=1$，即 $p=\frac{s^2-1}{3}$。

   交换 x、y 检验，再用和与积改写

   点一个式子，看交换 $x$、$y$ 后变不变：不变的都能写成 $s=x+y$、$p=xy$ 的式子；系数不对称的，先把带系数的整体换成新字母。下面的表是常用改写。

   选一个式子，交换 x、y，看它变不变：

   $x^2+y^2-xy$$x+y$$x^3+y^3$$\frac1x+\frac1y$$x^2+4y^2-2xy$$\frac x2+y$

   常用的改写

   对称式	用 s、p 表示
   $x^2+y^2$	$s^2-2p$
   $(x-y)^2$	$s^2-4p$
   $x^3+y^3$	$s^3-3sp$
   $x^2y+xy^2$	$sp$
   $\frac1x+\frac1y$	$\frac sp$

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3. 补上 s² ≥ 4p #

   $u,v$ 是方程 $t^2-st+p=0$ 的两个根，要有实根就得 $s^2-4p\ge0$。例中代入 $p=\frac{s^2-1}{3}$：$s^2-\frac{4(s^2-1)}{3}=\frac{4-s^2}{3}\ge0$，所以 $-2\le s\le2$。

   若题目要求 $u,v>0$，还要加上 $s>0$ 且 $p>0$。

   交换检验后和积换元，用 s² ≥ 4p 消元

   例：实数 $x,y$ 满足 $x^2+y^2-xy=1$，求 $x+y$ 的范围。条件化为 $s^2-3p=1$，再与可行性条件 $s^2\ge4p$ 联立。

   交换x ↔ y→条件、目标都不变→和积换元s = x + y，p = xy

   例$s^2-3p=1$＋$s^2\ge 4p$⇒$s^2\le 4$

   s² ≥ 4p 来自 (x − y)² ≥ 0

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说明与题例