数学说

高中数学知识图谱必修一 · 第 2 章方法

和积换元法

选取两个量，用它们的和与积改写条件和目标；根据所得关系，求界或解不等式，再检查能否还原为原变量。

出现在2.2 基本不等式拓展

用到的技能 6

消元换元用和与积表示对称式应用基本不等式不等式变形与推导求解一元二次方程

用到的方法 2

基本不等式法二次函数图像法

可选用它的题型 2

二元二次方程约束下的线性式取值范围和积最值问题
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什么时候用

适合什么题
条件和所求式子里把 xx、yy 互换都不变，要求 x+yx+y 或 xyxy 等的范围或最值，例如 x2+y2−xy=1x^2+y^2-xy=1，求 x+yx+y 的范围。
最后要得到什么
所求量的完整取值范围（或最值），并且范围里的每个值都确实能取到。
要注意
别忘了 s2−4p≥0s^2-4p\ge0，这是 x,yx,y 为实数的要求；题目还要求 x,y>0x,y>0 时，要再加上 s>0s>0 且 p>0p>0。

解题步骤

按顺序做。标了条件的技能，只在题目符合那个条件时才用。

  1. 1

    确定对哪两个量设和与积

    #

    看条件和所求式子关于哪两个量对称。本例 x2+y2−xy=1x^2+y^2-xy=1 和 x+yx+y 中把 xx、yy 互换都不变，就对 xx、yy 设和与积。

    如果先做一点变形才对称，比如 x2+4y2+2xyx^2+4y^2+2xy，令 v=2yv=2y 后变成 x2+v2+xvx^2+v^2+xv，就关于 xx、vv 对称了。

    这一步用到

    • 换元要先把某个字母乘一个数或加一个数才对称时

    判断对称结构：交换 x、y，看式子变不变

    点一个式子，把 xx、yy 互换：不变就能对 xx、yy 设和与积；改变的（如 x2+4y2−2xyx^2+4y^2-2xy），看能不能先令 b=2yb=2y 这样换元，变成关于新字母对称。

    选一个式子，交换 x、y，看它变不变：

    图解交互正在加载；正文与题例可直接阅读。

  2. 2

    用 s、p 改写条件

    #

    令 s=x+ys=x+y，p=xyp=xy。用 x2+y2=s2−2px^2+y^2=s^2-2p，条件 x2+y2−xy=1x^2+y^2-xy=1 变成 s2−3p=1s^2-3p=1。

    同时写下 x,yx,y 是实数的要求：s2−4p≥0s^2-4p\ge0。

    这一步用到

  3. 3

    联合条件与和积可行性关系

    #

    由 s2−3p=1s^2-3p=1 得 p=s2−13p=\frac{s^2-1}{3}，代入 s2−4p≥0s^2-4p\ge0：s2−4(s2−1)3=4−s23≥0s^2-\frac{4(s^2-1)}{3}=\frac{4-s^2}{3}\ge0。

    这样就得到一个只含所求量 ss 的不等式。

    也可以用平方非负性写出 p≤s24p\le\frac{s^2}{4}；若两量为正，可用 s≥2ps\ge2\sqrt p。不必每次都求方程的根。

    这一步用到

  4. 4

    求范围或最值

    #

    4−s23≥0\frac{4-s^2}{3}\ge0 即 s2≤4s^2\le4，得 −2≤s≤2-2\le s\le2。

    若目标化成 s+kss+\frac{k}{s} 且 s>0,k>0s>0,k>0，可以应用基本不等式法求界，再检查等号条件是否满足原来的和积关系。

    看题目情况选用

  5. 5

    检查范围里每个值都能取到

    #

    反过来，任取 s∈[−2,2]s\in[-2,2]，令 p=s2−13p=\frac{s^2-1}{3}，方程 t2−st+p=0t^2-st+p=0 的判别式 s2−4p=4−s23≥0s^2-4p=\frac{4-s^2}{3}\ge0，有实根。把两根作为 x,yx,y，则 x+y=sx+y=s，x2+y2−xy=s2−3p=1x^2+y^2-xy=s^2-3p=1，满足原条件。

    所以 x+yx+y 的范围是 [−2,2][-2,2]。只验证 s=±2s=\pm2 两个端点能取到还不够，中间的每个值也要能取到。

    这一步用到

背后用到的知识

上面各步骤用到的性质和公式。做一道具体的题，通常只用到其中一部分。

基本不等式 · 定积求和基本不等式 · 定和求积基本不等式 · 公式与取等等式的性质 · 同加同减等式的性质 · 等值替换与定义域等式的性质 · 同乘与非零同除不等式的性质 · 同加减与同向相加不等式的性质 · 乘除与方向不等式的性质 · 同号两数取倒数一元二次方程 · 判别式与实根一元二次方程 · 已知和与积，两个实数是否存在一元二次方程 · 求根公式一元二次方程 · 根与系数及因式分解二次函数 · 零点与横轴一元二次不等式 · 全实数上的符号条件一元二次不等式 · 开口与根决定符号不等式与实数大小关系 · 作差判号平方的非负性 · 和与积的可行性

例题

1. 从和积可行性求完整范围

x2+y2−xy=1x^2+y^2-xy=1，求 x+yx+y 的范围。

  1. 令 s=x+y,p=xys=x+y,p=xy，条件为 s2−3p=1s^2-3p=1，故 p=s2−13p=\frac{s^2-1}{3}。
  2. x,yx,y 为实数要求 s2−4p≥0s^2-4p\ge0，即 4−s23≥0\frac{4-s^2}{3}\ge0，得到 −2≤s≤2-2\le s\le2。
  3. 反过来，对这个区间内任意 ss，方程 t2−st+s2−13=0t^2-st+\frac{s^2-1}{3}=0 有实根。取两根为 x,yx,y 即满足原式，故完整范围为 [−2,2][-2,2]。

基本不等式专题 Q28 · 打开原题

2. 和积换元后求最小值

x,y>0,xy=1x,y>0,xy=1，求 x2+y2+6x+y\frac{x^2+y^2+6}{x+y} 的最小值。

  1. 令 s=x+y,p=xy=1s=x+y,p=xy=1，原式为 s+4ss+\frac4s，且 s≥2s\ge2。
  2. 应用基本不等式得原式 ≥4\ge4，等号要求 s=2s=2。
  3. 由 x+y=2,xy=1x+y=2,xy=1 得 x=y=1x=y=1，合法，所以最小值为 44。

基本不等式专题 Q08 和积换元路线 · 打开原题

内容出处：人教 A 版必修第一册第二章