应用基本不等式

操作步骤

1. 写清两项，确认都是正数 #

   系数要算进项里。例如 $x+2y$ 取 $U=x$，$V=2y$；由 $x,y>0$ 知两项都为正。

2. 写出不等式 #

   $U+V\ge2\sqrt{UV}$：$x+2y\ge2\sqrt{x\cdot2y}=2\sqrt{2xy}$。若已知 $xy=4$，就得 $x+2y\ge2\sqrt8=4\sqrt2$。

   题目给的是和、要求积时，用另一种写法 $UV\le\frac{(U+V)^2}{4}$。

   方框圆圈：两项整体放进公式

   方框、圆圈里放的是两个完整的正项，可以是正变量、正常数、表达式或函数值。例如 $x+2y$ 中，方框放 $x$，圆圈放 $2y$，系数 $2$ 跟着 $y$ 一起进去；等号在方框 $=$ 圆圈，也就是 $x=2y$ 时成立。

   • 正变量$x>0$
   • 正常数$3>0$
   • 完整表达式$x+1>0$
   • 函数值$2^a>0$

   都可以整体放进 和

   +≥2·

   • 定积 · 为定值→和有最小值
   • 定和 + 为定值→积有最大值

   取等 ⇔当且仅当 =

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3. 写出等号成立的条件 #

   等号在 $U=V$ 时成立，这里是 $x=2y$。把它和原条件放在一起检查能否取到：与 $xy=4$ 联立得 $2y^2=4$，$y=\sqrt2$，$x=2\sqrt2$，都是正数，所以 $4\sqrt2$ 取得到。

说明与题例