高中数学知识图谱必修一 · 第 2 章技能

等式变形与推导

用两边同加减、同乘除等办法整理等式，并分清每一步能不能倒推回去。

出现在2.1 等式性质与不等式性质 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式

依据的知识 1

等式的性质

用到它的方法 3

基本不等式法分离参数法解集反推法

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什么时候用

看到什么想到它: 手里有一个等式，想把它整理成需要的样子，例如由 $x+y=3$ 写出 $y$ ，或者从 $y(x+2)=7-x$ 解出 $y$ 。
做完得到什么: 整理好的新等式，连同它需要的条件（如 $x\ne-2$ ），并且清楚新等式和原等式能不能互相推出。
要注意: 两边同除一个式子前，先确认它不为 $0$ ；两边平方或同乘可能为 $0$ 的式子后，会多出原来没有的解，算完要代回原式检查。

操作步骤

想好要做哪一步 #
先看目标：要把谁单独留在一边。例如要从 $y(x+2)=7-x$ 解出 $y$ ，要做的就是两边同除以 $x+2$ 。
检查能不能倒推回去 #
两边同加减同一个式子，随时能加减回去，新旧等式互相推出。两边同除 $x+2$ 必须 $x+2\ne0$ ：本例若 $x=-2$ ，原式变成 $0=9$ ，不成立，所以 $x\ne-2$ ，可以放心除。
两边同乘可能为 $0$ 的式子，或者两边平方，只能从原式推出新式，倒推不回去。例如 $x=2$ 平方得 $x^2=4$ ，但 $x^2=4$ 还包括 $x=-2$ 。
写下结果和它的条件 #
结果连同条件一起写： $y=\frac{7-x}{x+2}$ ， $x\ne-2$ 。
原来的其他限制也要带上。例如还知道 $x,y>0$ ，由 $y>0$ 得 $7-x>0$ ，所以 $0<x<7$ 。

说明与题例

1. 条件整理

由 $x+y=3$ 表示 $y$ 。

同减 $x$ 得 $y=3-x$ ，与原等式等价；若还知 $x,y>0$ ，需保留 $0<x<3$ 。

本页说明例

内容出处：人教 A 版必修第一册第二章