分离参数法

解题步骤

按顺序做。标了条件的技能，只在题目符合那个条件时才用。

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   把参数单独移到一边

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   含 $m$ 的项留在一边，其余移到另一边，再除以 $m$ 前面的式子。例如 $x^2-mx+1\le0$ 移项得 $mx\ge x^2+1$；$x\in[1,2]$ 时 $x>0$，两边同除以 $x$，不等号不变：$m\ge x+\frac{1}{x}$。

   除之前先看除数的符号：正数直接除，负数要把不等号反向，正负不定就不能直接除（见下面的错题）。

   这一步用到

   • 不等式变形与推导
   • 等式变形与推导
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   看恒成立要用最大值还是最小值

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   把不含 $m$ 的一边记作 $g(x)=x+\frac{1}{x}$。$m\ge g(x)$ 对每个 $x\in[1,2]$ 都成立，就是 $m$ 不小于 $g(x)$ 在 $[1,2]$ 上的最大值。

   记法：恒成立时，$m\ge g(x)$ 看最大值，$m\le g(x)$ 看最小值；有解（存在某个 $x$）时反过来，$m\ge g(x)$ 看最小值，$m\le g(x)$ 看最大值。

   这一步用到

   • 将恒成立与存在成立转化为值域或最值条件

   水平线 y = a 与 h(x) 比高低

   例：$\forall x<0$，$x^2+ax+2\ge0$。除以负数 $x$ 后得 $a\le h(x)=-x-\frac2x$，$h$ 的最低点在 $x=-\sqrt2$，最小值为 $2\sqrt2$。

   例，$h(x)=-x-\frac{2}{x}$（$x<0$）：$a\le h(x)$ 恒成立 $\Leftrightarrow$ $a\le2\sqrt2$

   • 参数 ≤ h(x)→比 h(x) 的最小值
   • 参数 ≥ h(x)→比 h(x) 的最大值

   除以负数，不等号要变向

   图解交互正在加载；正文与题例可直接阅读。

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   求另一边函数在区间上的最值

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   按 $g(x)$ 的样子选算法：二次函数看对称轴，一次函数看两端，$x+\frac{k}{x}$ 看转折点 $x=\sqrt{k}$。

   分母形如 $ax+b$ 时，可以令 $t=ax+b$（$a\ne0$），把函数和区间一起换成新变量，再用已有技能求值域；若 $a<0$，新区间两端及开闭性要交换。算完后由 $x=\frac{t-b}{a}$ 还原取等点。

   二次式也可以先配方，再利用平方的非负性与变量范围求最值；配方与根据顶点求值是可选择的不同路径。

   本例 $g(x)=x+\frac{1}{x}$ 的转折点是 $x=1$，在 $[1,2]$ 上递增，最大值是 $g(2)=\frac{5}{2}$，在 $x=2$ 时取到。

   看题目情况选用

   • 求二次函数在区间上的最值与值域另一边是二次函数时
   • 求一次函数及常函数在区间上的最值与值域另一边是一次函数或常数时
   • 求对勾函数在区间上的最值与值域另一边形如 $x+\frac{k}{x}$（$k>0$）时
   • 配方求最值法另一边可配成常数加减平方，并能验证取等或区间边界时
   • 不等式变形与推导另一边是符号确定函数的倒数，先求分母范围，再取倒数时
   • 换元另一边的线性分母可设为新变量，并能将函数化为已有的求值域形式时；同步转换区间并回代取等点
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   写出参数范围，检查等号

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   由 $m\ge g(x)$ 恒成立得 $m\ge\frac{5}{2}$。验证等号：$m=\frac{5}{2}$、$x=2$ 时 $4-5+1=0\le0$，成立，所以等号保留。

   如果移到一边的不是 $m$ 本身，而是 $m^2$、$2m-1$ 这样的式子，得到它的范围后还要再解一次关于 $m$ 的不等式。

   这一步用到

   • 不等式变形与推导
   • 二次函数图像法还原后的参数条件是一元二次不等式时

背后用到的知识

上面各步骤用到的性质和公式。做一道具体的题，通常只用到其中一部分。

易错

例题