数学说

高中数学知识图谱必修一 · 第 2 章题型

一元分式不等式求解问题

解分母含 x 的不等式，写出全部解，别忘了分母不能为 0。

出现在2.3 二次函数与一元二次方程、不等式拓展

涉及的知识 2

不等式的性质一元二次不等式

可选的方法 1

分式不等式转化法
在图谱中查看 ↗

题型特征

典型题面

解不等式 2−x3x+1≥1\frac{2-x}{3x+1}\ge1。

认这类题，看题面里有没有下面几样：

  1. 不等式里有分式，分母里含 xx。

    例中分母 3x+13x+1 含 xx。

  2. 移项通分后，能变成一个分式和 00 比较。

    例中2−x3x+1−1=1−4x3x+1≥0\frac{2-x}{3x+1}-1=\frac{1-4x}{3x+1}\ge0。

  3. 要求的是 xx 的全部解，最后要去掉使分母为 00 的值。

    例中x=−13x=-\frac13 时分母为 00，所以答案是 (−13,14]\left(-\frac13,\frac14\right]，左端点不要。

别和它混淆

怎么选方法

可选用的方法

分式不等式转化法

适合什么题：不等式里有分母含 xx 的分式，例如解 2−x3x+1≥1\frac{2-x}{3x+1}\ge1。

把分式不等式移项通分成「一个分式和 0 比」，再变成整式不等式来解，最后去掉让分母为 0 的 x。

说明与题例

1. 一端包含、一端排除

解 2−x3x+1≥1\frac{2-x}{3x+1}\ge1。

  1. 定义域要求 x≠−13x\ne-\frac{1}{3}；移项通分为 1−4x3x+1≥0\frac{1-4x}{3x+1}\ge0。
  2. 同乘分母平方得到 (1−4x)(3x+1)≥0(1-4x)(3x+1)\ge0，其解为 [−13,14]\left[-\frac{1}{3},\frac{1}{4}\right]。
  3. 排除原分母零点，最终为 (−13,14]\left(-\frac{1}{3},\frac{1}{4}\right]。

补充练习第 1 页第 4(2) 题

内容出处：人教 A 版必修第一册第二章