配方 · 数学说

什么时候用

看到什么想到它: 要求最值、判断正负或找顶点，看到式子里有 $x^2$ 和 $x$ 项（或 $x^2$ 与 $\frac{1}{x^2}$ 这样成对的项）。
做完得到什么: $a(x-h)^2+k$ 这样「平方加常数」的样子。由此读出顶点 $(h,k)$ ： $a>0$ 时最小值是 $k$ ， $a<0$ 时最大值是 $k$ 。
要注意: 加上去的数要再减掉，式子的值才不变；原来对 $x$ 的限制（如分母不为 $0$ ）改写后仍要保留。

找出能凑平方的部分 #
对照 $(u\pm v)^2=u^2\pm2uv+v^2$ ： $x^2$ 是 $u^2$ ，带 $x$ 的一次项是 $2uv$ 。例如 $x^2+6x$ 中 $u=x$ ， $2uv=6x$ ，所以 $v=3$ 。
补上缺的一块，再减掉 #
$x^2+6x$ 还缺 $v^2=9$ 才是完全平方： $x^2+6x=x^2+6x+9-9=(x+3)^2-9$ 。一般地， $x^2+bx=\left(x+\frac{b}{2}\right)^2-\frac{b^2}{4}$ ，补的是一次项系数一半的平方。
$x^2$ 前面有系数 $a$ （ $a\ne0$ ）时，先把它从含 $x$ 的两项里提出来，再在括号里配方，见下面「先提二次项系数」的例子。
一般结果： $ax^2+bx+c=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{4ac-b^2}{4a}$ 。常数部分的分子 $4ac-b^2$ 正好是 $-\Delta$ ，这就是判别式能判断二次式正负的原因。
面积图：给 x² + 6x 补上缺角配成完全平方
例：求 $x^2+6x+11$ 的最小值。把 $6x$ 拆成两块 $3x$ 贴在边长 $x$ 的正方形两边，补上缺角 $3^2=9$ 得 $(x+3)^2$ ，可逐步点击。
例：求 $x^2+6x+11$ 的最小值。
先看前两项： $x^2+6x$ 是一个边长为 $x$ 的正方形，加一个 $6\times x$ 的长方形。
图解交互正在加载；正文与题例可直接阅读。
展开检查 #
把结果展开，看是否和原式一样。例如 $(x+3)^2-9=x^2+6x+9-9=x^2+6x$ 。

错误做法

$-x^2+2x+3=-(x^2-2x)+3=-(x-1)^2-1+3=2-(x-1)^2$ 。

括号里 $x^2-2x=(x-1)^2-1$ ，整个括号前面是负号，减去的 $1$ 拿出括号要变成加 $1$ 。

正确做法

保留中括号再去括号： $-(x^2-2x)+3=-\left[(x-1)^2-1\right]+3=4-(x-1)^2$ 。

展开检查： $4-(x^2-2x+1)=-x^2+2x+3$ ；由此 $x=1$ 时取最大值 $4$ 。

错误做法

求 $x^2-2x$ 在 $[2,3]$ 上的最小值： $x^2-2x=(x-1)^2-1\ge-1$ ，所以最小值是 $-1$ 。

取等要 $x=1$ ，而 $1\notin[2,3]$ ，下界 $-1$ 在区间上取不到。

正确做法

配方只给出顶点 $x=1$ ；区间 $[2,3]$ 在顶点右侧， $(x-1)^2-1$ 在其上递增。

最小值是 $x=2$ 时的 $(2-1)^2-1=0$ 。

将 $2x^2-4x+5$ 配方。

本页说明例

说明 $x^2-x+1$ 对一切实数 $x$ 都是正的。

本页说明例

$x\ne0$ ，把 $x^2+\frac{1}{x^2}$ 写成「平方加常数」，并求它的最小值。

$\left(x-\frac{1}{x}\right)^2=x^2-2+\frac{1}{x^2}$ ，故原式 $=\left(x-\frac{1}{x}\right)^2+2\ge2$ 。
$x-\frac{1}{x}=0$ ，即 $x=\pm1$ 时取等，最小值是 $2$ 。

本页说明例

内容出处：人教 A 版必修第一册第二章