配方求最值法

解题步骤

按顺序做。标了条件的技能，只在题目符合那个条件时才用。

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   先变成只含一个字母

   #

   有等式条件就用它消掉一个字母，并写下剩下字母的范围。例如由 $m+n=2$ 得 $n=2-m$，所以 $mn=m(2-m)$；又 $n=2-m>0$，所以 $0<m<2$。

   式子里反复出现同一块时，也可以把这一块设成新字母，例如 $x^4+2x^2$ 中令 $t=x^2$（$t\ge0$），得到 $t^2+2t$。

   看题目情况选用

   • 消元有等式条件、需要减少字母时
   • 换元同一块反复出现、适合整体设新字母时
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   配成「常数加减平方」

   #

   $mn=m(2-m)=-m^2+2m=-(m^2-2m)=-\left[(m-1)^2-1\right]=1-(m-1)^2$。

   展开检查：$1-(m^2-2m+1)=-m^2+2m$，和原式一样。

   这一步用到

   • 配方
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   看平方在范围里能不能等于 0

   #

   $(m-1)^2\ge0$，等于 $0$ 需要 $m=1$，而 $1$ 在 $0<m<2$ 里，所以能取到。

   如果让平方为 $0$ 的值不在范围里（比如范围是 $2\le m\le3$），就不能直接读出最值，要看区间在对称轴哪一侧，用单调性求。

   这一步用到

   • 求二次函数在区间上的最值与值域化成一个字母的二次函数，且这个字母有范围限制时
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   定方向，写最值，回代检查

   #

   $1-(m-1)^2$ 中平方前是负号，平方越小式子越大，所以最大值是 $1$；平方前是正号时，读出的是最小值。

   回代：$m=1$ 时 $n=2-1=1$，满足 $m,n>0$ 且 $m+n=2$，此时 $mn=1$，所以最大值是 $1$。

背后用到的知识

上面各步骤用到的性质和公式。做一道具体的题，通常只用到其中一部分。

例题