数学说

高中数学知识图谱必修一 · 第 2 章技能

求二次函数在区间上的最值与值域

看开口方向和对称轴落在区间的哪一边，找出最大值、最小值在哪里取，再检查端点取不取得到。

出现在2.3 二次函数与一元二次方程、不等式拓展

依据的知识 2

函数的值域与最值必修一·3章二次函数

用到它的方法 3

二次函数最值法分离参数法配方求最值法

推荐它的判断 1

区间求值技能选择
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什么时候用

看到什么想到它
给了一个二次函数和一段区间，求它在这段区间上的最大值、最小值或值域，例如求 x2−2xx^2-2x 在 [−1,2][-1,2] 上的值域。系数或区间里带参数也一样。
做完得到什么
函数在这段区间上的值域，有没有最大值、最小值，以及它们在哪个 xx 处取到。
要注意
开区间的端点取不到，端点值不能直接当最值；区间可以伸到无穷。x2x^2 前的系数含参数时，先单独看它等于 00 的情况，这时是一次函数或常数。

操作步骤

  1. 找对称轴，看它在区间哪边 #

    对称轴是 x=−b2ax=-\frac{b}{2a}。例如 f(x)=x2−2xf(x)=x^2-2x 的对称轴是 x=1x=1，落在区间 [−1,2][-1,2] 里面。

    对称轴只有三种位置：在区间左边、在区间里、在区间右边。

  2. 按开口和对称轴位置找最值 #

    开口向上时，最小值：对称轴在区间左边取左端点，在区间里取顶点，在区间右边取右端点。最大值在离对称轴更远的那个端点取，也就是拿对称轴和区间中点比；对称轴恰在中点时两端值相等。开口向下时最大、最小对调。

    例中开口向上，最小值是顶点值 f(1)=−1f(1)=-1；左端点 −1-1 离对称轴 22，比右端点 22 远，最大值是 f(−1)=3f(-1)=3，值域为 [−1,3][-1,3]。

    区间伸到无穷时，开口向上那一侧无限升高，开口向下那一侧无限降低。带参数时，按对称轴在区间左边、里面、右边分情况讨论。

    拖动对称轴：区间上的最大值、最小值落在顶点还是端点

    固定区间 [1,3][1,3]（可切换为开区间 (1,3)(1,3)，中点 22）；可切换开口方向，左右拖动对称轴，看最值在顶点、近端点还是远端点，以及开区间端点是否取得到。

    一条抛物线和区间 1 到 3，对称轴可以左右拖动 12 中点3 x 的取值范围

    图解交互正在加载；正文与题例可直接阅读。

  3. 检查端点取不取得到 #

    闭区间的端点和区间内的顶点都取得到；开区间的端点取不到，那一侧的值只能无限接近。

    开端点的值如果在区间里别的地方取得到，仍算最值。例如 x2−2xx^2-2x 在 [−1,3)[-1,3) 上，f(3)=3f(3)=3 取不到，但 f(−1)=3f(-1)=3 取得到，最大值仍是 33。

易错

开区间上把端点值当成最值 #

错误做法

f(x)=x2−2xf(x)=x^2-2x 在 (0,3)(0,3) 上，离对称轴更远的是右端点，于是说最大值是 f(3)=3f(3)=3。

x=3x=3 不在区间内，33 取不到，只能无限接近；而顶点 x=1x=1 在开区间里，顶点值仍取得到。

正确做法

最小值 f(1)=−1f(1)=-1，取得到；上端 f(3)=3f(3)=3 取不到。

取值范围为 [−1,3)[-1,3)，没有最大值。

相关函数的值域与最值 · 边界可达性必修一·3章

说明与题例

1. 顶点在区间外

求 (x−1)2+2(x-1)^2+2 在 [2,3][2,3] 上的值域。

  1. 顶点横坐标 11 在左侧，函数递增，端点值为 3,63,6，值域为 [3,6][3,6]。

本页说明例

2. 半无限区间

求 x2+2xx^2+2x 在 (0,+∞)(0,+\infty) 上的取值范围。

  1. 对称轴 x=−1x=-1 在区间左侧，开口向上，函数在区间上递增。
  2. 朝 +∞+\infty 一侧图像无限升高，没有上端；下端 f(0)=0f(0)=0 取不到。
  3. 取值范围为 (0,+∞)(0,+\infty)，既没有最大值也没有最小值。

本页说明例

3. 二次项系数含参数

求 f(x)=mx2−mx−1f(x)=mx^2-mx-1 在 [2,3][2,3] 上的最大值。

  1. m=0m=0 时 f(x)=−1f(x)=-1 是常函数，最大值为 −1-1。
  2. m≠0m\ne0 时对称轴 x=12x=\frac12 固定，在区间左侧，开口随 mm 的符号变化。
  3. m>0m>0 时开口向上，在 [2,3][2,3] 上递增，最大值 f(3)=6m−1f(3)=6m-1。
  4. m<0m<0 时开口向下，在 [2,3][2,3] 上递减，最大值 f(2)=2m−1f(2)=2m-1。

本页说明例

内容出处：人教 A 版必修第一册第二章