数学说

高中数学知识图谱必修一 · 第 2 章判断规则 · 选法规则

含参一元二次不等式的选法判断

遇到含参数的一元二次不等式，先看清「哪个字母在什么范围里变化」，再挑能用的方法，常常不止一种方法可用。

可选出的方法 4

判别式法区间最值法分离参数法更换主元法

用它选方法的题型 1

含参一元二次不等式的恒成立与存在成立问题
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这条规则做什么

用来判断什么
一道含参数的二次不等式题该用哪种方法：判别式法、区间最值法、分离参数法，还是更换主元法。
判断结果
每种方法在这道题里能不能用；能用的往往不止一种，挑最顺手的做。
要注意
先看清在范围里变化的是哪个字母，范围是全体实数还是某个区间，要求是对所有取值成立还是至少一个取值成立。全实数上的二次不等式，两种量词都可用判别式法；二次项系数为 00 时单独处理。

按题目情况选

下面几条可以同时满足，满足哪一条就可以走哪一条。

全体实数上的恒成立或有解

量词变量取全体实数，式子关于它是二次的，要求恒成立或存在实数使其成立；四种关系 >>、≥\ge、<<、≤\le 都要结合量词和开口判断。二次项系数含参数时，先单独处理系数为 00 的情况。

满足时用判别式法

在给定区间上研究最值

xx 在给定区间内取值，区间可以是有限区间、半无限区间或全体实数 R\mathbb R；能求出相关函数在该范围上的最大值、最小值（二次函数、一次函数或对勾函数），最值取不到时要单独看等号。xx 取全体实数时，判别式法通常更直接，优先用判别式法。

满足时用区间最值法

参数能单独移到一边

xx 在题目给定的范围里取值（常见是某个区间，全体实数也可以）；能把参数（或含参数的式子）移到不等号一边，另一边只含 xx，并且能求出这一边在该范围上的最大值或最小值。除以含 xx 的式子之前，要能确定它在这个范围上的正负。

满足时用分离参数法

给出范围的字母不是 x

给出范围的是参数（如 m∈[1,3]m\in[1,3]），要求的却是 xx；把式子按这个参数整理后是一次式或常数，就看区间两端。

满足时用更换主元法

说明与题例

1. 多种方法同时适用

使 x2−2x+a≥0x^2-2x+a\ge0 对所有实数 xx 成立，求 aa。

  1. xx 取全体实数，二次项系数是 11，可以用判别式法：Δ=4−4a≤0\Delta=4-4a\le0，得 a≥1a\ge1。
  2. 也可以分离参数：a≥2x−x2a\ge2x-x^2 恒成立，而 2x−x2=1−(x−1)22x-x^2=1-(x-1)^2 的最大值是 11，同样得 a≥1a\ge1。
  3. 两种方法都能用，挑顺手的即可；一种方法能用，不代表别的方法就不能用。

本页说明例

2. 存在型也可选择判别式法

存在 x∈Rx\in\mathbb R 使 x2−2x+m≤0x^2-2x+m\le0，求 mm。

  1. 变量范围是全体实数，二次项系数为 11，可以用判别式法。这里要求至少一个点不高于横轴，因此 Δ=4−4m≥0\Delta=4-4m\ge0，得 m≤1m\le1。
  2. 也可看最小值：x2−2x+m=(x−1)2+m−1x^2-2x+m=(x-1)^2+m-1，存在非正值等价于最小值 m−1≤0m-1\le0。

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内容出处：人教 A 版必修第一册第二章