判别式法

解题步骤

按顺序做。标了条件的技能，只在题目符合那个条件时才用。

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   先看 x² 的系数能不能是 0

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   设式子为 $ax^2+bx+c$。若 $a$ 可能为 $0$，先单独讨论。此时 $b\ne0$ 的一次式取遍全体实数：四种正负关系都至少有一个解，但都不会对所有实数成立。

   若 $a=b=0$，式子是常数。全称与存在都直接检查 $c>0$、$c\ge0$、$c<0$ 或 $c\le0$，因为定义域 $\mathbb R$ 非空。例如 $kx^2+2kx-(k+2)<0$ 在 $k=0$ 时变成 $-2<0$，两种量词都成立。

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   移项整理成与 0 比较

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   把不等式两边的项移到同一侧，整理成关于量词变量的二次式与 $0$ 比较，保留原来的严格或非严格不等号。

   例如 $-x^2+2x+3\le a^2-3a$ 等价于 $x^2-2x+a^2-3a-3\ge0$，关于 $x$ 的二次项系数为 $1$。

   这一步用到

   • 不等式变形与推导
   • 代数式化简
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   写出开口和判别式的条件

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   以下先设 $a\ne0$，$\Delta=b^2-4ac$。全称要求整条图像满足关系：恒 $>0$ 要 $a>0$ 且 $\Delta<0$；恒 $\ge0$ 要 $a>0$ 且 $\Delta\le0$；恒 $<0$ 要 $a<0$ 且 $\Delta<0$；恒 $\le0$ 要 $a<0$ 且 $\Delta\le0$。

   存在只要求找到一个点。要 $f(x)>0$ 有解，$a>0$ 时总能找到；$a<0$ 时需要 $\Delta>0$。要 $f(x)\ge0$ 有解，$a>0$ 时仍总能找到；$a<0$ 时需要 $\Delta\ge0$，相切时那个零点就是一个解。

   要 $f(x)<0$ 有解，$a<0$ 时总能找到；$a>0$ 时需要 $\Delta>0$。要 $f(x)\le0$ 有解，$a<0$ 时仍总能找到；$a>0$ 时需要 $\Delta\ge0$。开口朝着所需正负方向时，不必再限制判别式。

   也可以先把关系统一写成 $F(x)>0$ 或 $F(x)\ge0$，记其二次项系数为 $A\ne0$：全称分别是 $A>0$ 且 $\Delta<0$、$A>0$ 且 $\Delta\le0$；存在分别是 $A>0$ 或 $\Delta>0$、$A>0$ 或 $\Delta\ge0$。这里的“且”和“或”不能混用。

   看题目情况选用

   • 根据开口与零点判断二次式的正负把全称或存在的正负要求翻译成开口方向与交点条件时
   • 代数式化简代入系数计算并化简判别式时
   • 不等式变形与推导把判别式条件改写成参数的不等式时

   全实数上的恒成立与有解：开口方向和判别式

   先确认二次项系数非零，再区分全称与存在。全称看整条图像，存在看能否找到一个符合关系的点；开口已保证能找到所需正值或负值时，不必再限制判别式。相切能满足非严格存在关系，但不能满足相应的严格关系。

   恒成立看整条图像；存在成立只需找到一个点。

   a > 0：开口向上

   • Δ < 0处处为正
   • Δ = 0最低点为 0
   • Δ > 0既有正值，也有负值

   a < 0：开口向下

   • Δ < 0处处为负
   • Δ = 0最高点为 0
   • Δ > 0既有正值，也有负值

   Δ 只表示交点情况，不能单独决定原不等式是否成立；还要看开口、量词与关系。

   设 f(x) = ax² + bx + c，a ≠ 0，x ∈ ℝ

   要求	a > 0	a < 0
   恒 > 0	Δ < 0	不成立
   恒 ≥ 0	Δ ≤ 0	不成立
   恒 < 0	不成立	Δ < 0
   恒 ≤ 0	不成立	Δ ≤ 0
   存在 > 0	总有解	Δ > 0
   存在 ≥ 0	总有解	Δ ≥ 0
   存在 < 0	Δ > 0	总有解
   存在 ≤ 0	Δ ≥ 0	总有解

   “总有解”表示在该开口下不需要额外限制 Δ。例如 x² + 1 > 0 有解，虽然 Δ < 0。

   a = 0 时另看一次式或常数：b ≠ 0 的一次式取遍 ℝ，四种关系都有解、都不恒成立；b = 0 时直接检查常数 c 是否满足原关系。

   这些条件针对全体实数；限定区间时先看该区间上的取值。

   图解交互正在加载；正文与题例可直接阅读。

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   解出参数

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   把每个“且”连接的条件取交集，把“或”连接的可行分支取并集，再与本情况的前提取交集。不能把存在型的“或”当作全称型的“且”。

   例如 $kx^2+2kx-(k+2)<0$ 恒成立时，$k\ne0$ 分支要求 $k<0$ 且 $\Delta=8k(k+1)<0$，得 $-1<k<0$。若改为存在型，$k<0$ 时总有解；$k>0$ 时要求 $\Delta>0$，这里也总满足。

   这一步用到

   • 代数式化简
   • 不等式变形与推导
   • 二次函数图像法参数满足的条件是一元二次不等式时
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   把各种情况合起来，检查边界

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   每种情况的结果先和这种情况本身的前提取公共部分，再把各种情况合起来。例子中 $k=0$ 和 $-1<k<0$ 合起来是 $-1<k\le0$。

   最后把边界代回原不等式检查：$k=-1$ 时原式为 $-(x+1)^2<0$，$x=-1$ 时左边等于 $0$，不成立，所以 $k=-1$ 不取。

   检验存在型边界时，只要有一个符合条件的 $x$ 就保留，不能因另一个 $x$ 不符合而排除。例如 $-(x+1)^2<0$ 在 $x=-1$ 时不成立，但在 $x=0$ 时成立，因此对存在型是有解的。

背后用到的知识

上面各步骤用到的性质和公式。做一道具体的题，通常只用到其中一部分。

易错

例题