区间最值法

解题步骤

按顺序做。标了条件的技能，只在题目符合那个条件时才用。

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   判断要区间上的最大值还是最小值

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   「$f(x)\le m$ 恒成立」要所有函数值都不超过 $m$，即 $f$ 在区间上的最大值 $\le m$；「$f(x)\le m$ 有解」只要最小值 $\le m$。例子中要 $(x-1)^2+2$ 在 $[2,3]$ 上的最大值 $\le m$。

   这一步用到

   • 将恒成立与存在成立转化为值域或最值条件

   只看区间上的一段：区间外有正有负不要紧

   例：当 $1\le x\le2$ 时 $x^2+mx+4<0$ 恒成立，求 $m$；图中取 $m=-5.5$，区间内最高点 $f(1)=-0.5<0$。

   例，m = −5.5 时：区间外有正有负不要紧，区间内最高点 f(1) < 0

   • 恒 < 0区间上的最大值 < 0
   • 恒 > 0区间上的最小值 > 0

   最值在顶点还是端点，看对称轴与区间的位置

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   按函数类型求区间上的取值范围

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   看函数关于 $x$ 是二次函数、一次函数还是对勾函数，用对应的办法求它在区间上的取值范围。例子中 $(x-1)^2+2$ 是二次函数，对称轴 $x=1$ 在 $[2,3]$ 左边，函数在区间上递增，取值范围是 $[3,6]$。

   $x^2$ 的系数含参数时，系数为 $0$ 的情况要按一次函数重新算。

   这一步先用区间求值技能选择来选：

   • 式子关于正在研究的字母是二次的，并且二次项系数不为 $0$，例如 $m\ne0$ 时的 $mx^2+2$。→求二次函数在区间上的最值与值域
   • 式子关于正在研究的字母是 $ax+b$ 的样子，$a$ 可正可负，也可以是 $0$（这时是常数）。→求一次函数及常函数在区间上的最值与值域
   • 式子是 $x+\frac{k}{x}$ 的样子且 $k>0$；$x$ 不能取 $0$，区间同时含正数和负数时，要拆成正、负两段分别求。→求对勾函数在区间上的最值与值域
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   用最值写出参数条件

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   最值取得到时直接写不等式。例子中最大值 $6$ 在 $x=3$ 取到，所以 $6\le m$，即 $m\ge6$。

   区间端点取不到、最值不存在时，用函数值能无限接近的那个边界数来比较，等号单独判断。

   这一步用到

   • 不等式变形与推导

   分情况讨论：每种情况先取交集，最后取并集

   例：$x\in[0,2]$ 时 $x^2-2mx+1>0$ 恒成立，按对称轴 $x=m$ 在区间左侧、区间里、区间右侧分三种情况。点「下一步」逐个看：每种情况解出的范围先和这种情况的前提取交集，三个结果再取并集。

   例：当 $x\in[0,2]$ 时，$f(x)=x^2-2mx+1>0$ 恒成立，求 $m$ 的取值范围。

   1. 对称轴 $x=m$ 在区间左侧、区间里、区间右侧时，最小值在不同的地方取到，所以分三种情况。
   2. 情况① $m\le0$：$f(x)$ 在 $[0,2]$ 上递增，最小值 $f(0)=1>0$。这种情况下的 $m$ 全部满足，结果就是整个前提 $m\le0$。
   3. 情况② $0<m<2$：最小值 $f(m)=1-m^2>0$，解得 $-1<m<1$；与前提取交集，得 $0<m<1$。
   4. 情况③ $m\ge2$：最小值 $f(2)=5-4m>0$，解得 $m<\frac54$；与前提 $m\ge2$ 没有公共部分，这种情况无解。
   5. 三种情况满足其一即可，取并集：$m\le0$ 并上 $0<m<1$，得 $m<1$。$m=0$ 在情况①的结果里，并集中不留空洞。

   上一步 下一步 全部显示

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   检查边界带不带等号

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   把边界值代回原题检查。例子中 $m=6$ 时 $(x-1)^2+2\le6$ 在 $[2,3]$ 上成立（$x=3$ 时取等），所以 $m=6$ 要保留。

   按参数分过情况的，每种情况的分界点也要代回检查。

背后用到的知识

上面各步骤用到的性质和公式。做一道具体的题，通常只用到其中一部分。

易错

例题