根据开口与零点判断二次式的正负

操作步骤

1. 按零点划分数轴 #

   两个不等零点把数轴分成三段；两根相等时只有一个零点，把数轴分成两段；没有零点时整条数轴一起看。

2. 用开口判定符号 #

   有两个不等实根时，两根之间 $f(x)$ 与 $a$ 符号相反，两根之外与 $a$ 符号相同；以 $a>0$ 为例，两根之间为负，两根之外为正。两根相等或没有实根时，除零点外 $f(x)$ 处处与 $a$ 符号相同。

   切换开口和零点个数：数轴上哪段正、哪段负

   上面是 $y=ax^2+bx+c$ 的图像，下面的数轴按零点分段：图像在 $x$ 轴上方的那段标 $+$，下方的那段标 $-$，零点处标 $0$。

   开口 向上 $a>0$向下 $a<0$

   零点 两个一个没有

   正$x<x_1$ 或 $x>x_2$

   零$x=x_1$ 或 $x=x_2$

   负$x_1<x<x_2$

   两根之外与 $a$ 同号，两根之间与 $a$ 异号。

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3. 单独记下零点 #

   零点处 $f(x)=0$。不等号是 $>$ 或 $<$ 时，零点不在解集里；是 $\ge$ 或 $\le$ 时，要把零点加进去。

4. 从符号范围判断全称或存在 #

   对所有实数成立，要指定关系的解集等于 $\mathbb R$；存在实数使其成立，只要这个解集非空。

   开口向上时，总能找到正值，但要找到负值必须 $\Delta>0$，要找到非正值只需 $\Delta\ge0$；开口向下时，总能找到负值，但要找到正值必须 $\Delta>0$，要找到非负值只需 $\Delta\ge0$。

   如果题目把变量限制在某个区间，应先把解集与该区间取交集，再判断是否覆盖整个区间或是否非空。

说明与题例