二次函数图像法

解题步骤

按顺序做。标了条件的技能，只在题目符合那个条件时才用。

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   移项，让一边是 0

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   把所有项移到左边，整理成 $ax^2+bx+c>0$（或 $<$、$\ge$、$\le$）的样子。例如 $x^2-5x>-6$ 移项得 $x^2-5x+6>0$。

   $a<0$ 时两边乘 $-1$，不等号反向；$a$ 含参数时要看它能不能为 $0$，$a=0$ 时就成了一次不等式，要单独解。

   这一步用到

   • 不等式变形与推导
   • 代数式化简
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   求出根，从小到大排好

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   解方程 $x^2-5x+6=0$，因式分解为 $(x-2)(x-3)=0$，两根是 $2$ 和 $3$。

   共三种情况：$\Delta>0$ 有两个不同的根；$\Delta=0$ 只有一个根，图像在顶点处碰到 $x$ 轴；$\Delta<0$ 没有实根，图像整条在 $x$ 轴的一侧。

   这一步用到

   • 求解一元二次方程
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   画草图，看哪段在 x 轴上方

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   开口向上的抛物线经过 $(2,0)$ 和 $(3,0)$：两根之外图像在 $x$ 轴上方，式子为正；两根之间在 $x$ 轴下方，式子为负。

   二次项系数为正时可记成：「大于取两边，小于取中间」。

   这一步用到

   • 根据开口与零点判断二次式的正负
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   按不等号写出解集

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   $x^2-5x+6>0$ 要式子为正，取两根之外；不带等号，根 $2$、$3$ 不取，解集为 $(-\infty,2)\cup(3,+\infty)$。

   如果是 $\ge0$，根也要包含进去：$(-\infty,2]\cup[3,+\infty)$。题目对 $x$ 另有限制时（如分母不为 $0$、$x>0$），最后再和它取交集。

   看图读解集：切换不等号，解集落在两根之间还是之外

   前提是先把二次项系数化成正数（$a>0$），且 $\Delta>0$、两根 $x_1<x_2$；点四个不等号按钮，看图像在 $x$ 轴上方还是下方，以及根是否算进去。

   $ax^2+bx+c$（$a>0$，$\Delta>0$）要

   $>0$$\ge 0$$<0$$\le 0$

   解集$x<x_1$ 或 $x>x_2$图像在 $x$ 轴上方：两根之外。

   二次项系数为正时：大于取两边，小于取中间。

   图解交互正在加载；正文与题例可直接阅读。

背后用到的知识

上面各步骤用到的性质和公式。做一道具体的题，通常只用到其中一部分。

易错

例题