二次函数

定义

定义与一般式 #

$f(x)=ax^2+bx+c$，其中 $a,b,c$ 为实数，$a\ne0$。

成立条件：自然定义域为 $\mathbb R$；题目可以另限区间。

表达形式

三种表达形式 #

一般式 $ax^2+bx+c$；顶点式 $a(x-h)^2+k$，其中 $h=-\frac{b}{2a},k=\frac{4ac-b^2}{4a}$；若有实根 $r_1,r_2$，可写成 $a(x-r_1)(x-r_2)$。

成立条件：实数因式分解式要求 $\Delta=b^2-4ac\ge0$。

性质

开口、对称轴与顶点 #

$a>0$ 开口向上，$a<0$ 向下。对称轴为 $x=h$，顶点是 $(h,k)$；图像关于该直线对称。$a>0$ 时 $k$ 是最小值，$a<0$ 时 $k$ 是最大值。

二次项系数含参数时，先判断它的符号：$m^2+1>0$，开口一定向上；$k$、$a^2-1$ 的符号随参数变，还可能等于 $0$。

成立条件：实系数，$a\ne0$；另有限定区间时保留该区间。

用到这一条的技能求二次函数在区间上的最值与值域

性质

零点与横轴 #

零点是使 $f(x)=0$ 的实数 $x$，不是坐标点。$\Delta>0,=0,<0$ 分别对应两个、一个、零个不同零点。

成立条件：实系数，$a\ne0$，上述个数按自然定义域 $\mathbb R$ 计；若定义域另有限制，只计入限制范围内的零点。

用到这一条的技能根据开口与零点判断二次式的正负

性质

图像在横轴的哪一侧 #

$a$ 定开口，$\Delta$ 定与横轴的公共点个数，合起来决定整条抛物线的位置：$\Delta<0$ 时与横轴不相交，$a>0$ 整条在横轴上方，$a<0$ 整条在下方；$\Delta=0$ 时只在顶点处与横轴相切；$\Delta>0$ 时穿过横轴，函数值有正有负。

成立条件：实系数，$a\ne0$，按全体实数 $x$ 讨论；$a=0$ 时不是二次函数，要代回原式另行判断。

性质

单调区间 #

$a>0$ 时，在 $(-\infty,h]$ 上递减、$[h,+\infty)$ 上递增；$a<0$ 时方向相反。

成立条件：实系数，$a\ne0$；另有限定区间时保留该区间。

性质

区间上的值域 #

结合顶点是否在区间内、开口方向和端点决定值域。闭区间上比较顶点值（若在区间内）与两端点值；开端点仅作为边界候选，需检查该值是否也在内部取得。

成立条件：实系数，$a\ne0$；另有限定区间时保留该区间。

用到这一条的技能求二次函数在区间上的最值与值域