和积最值问题 · 数学说

题型特征

典型题面

已知 $x,y>0$ ， $xy=4$ ，求 $x+2y$ 的最小值。

认这类题，看题面里有没有下面几样：

要求的是最大值或最小值，而且有正数条件。
例中「 $x,y>0$ 」，求 $x+2y$ 的最小值。
能找到两个正数：积是定值时求和的最小值，和是定值时求积的最大值。这两个数可以是式子。
例中 $x$ 和 $2y$ 都是正数，积 $x\cdot2y=8$ 是定值，要求它们的和 $x+2y$ 的最小值。
看不出定和或定积时，先配凑或换元把它凑出来。
例中本例直接可见；像 $x>1$ 时求 $x+\frac1{x-1}$ ，要先写成 $(x-1)+\frac1{x-1}+1$ 。
最后要检查等号能不能取到，取到了才是最值。
例中等号要求 $x=2y$ ，和 $xy=4$ 联立得 $x=2\sqrt2$ ， $y=\sqrt2$ ，取得到，所以最小值是 $4\sqrt2$ 。

别和它混淆

适合什么题：要求的式子能看成两个正数之和、而它们的积是定值（求最小值），或两个正数之积、而它们的和是定值（求最大值），例如 $x>1$ 时求 $x+\frac{1}{x-1}$ 的最小值。

把要求最值的式子凑成两个正数相加（积是定值）或相乘（和是定值），用基本不等式求出界，再验证等号取得到。

适合什么题：求一个式子的最大值或最小值，消元或换元后能变成只含一个字母的二次式，例如 $m,n>0$ ， $m+n=2$ ，求 $mn$ 的最大值。

把要求最值的式子配方成「常数加减一个平方」，看平方在允许的范围里能不能等于 0，从而得到最大值或最小值。

适合什么题：条件和所求式子里把 $x$ 、 $y$ 互换都不变，要求 $x+y$ 或 $xy$ 等的范围或最值，例如 $x^2+y^2-xy=1$ ，求 $x+y$ 的范围。

选取两个量，用它们的和与积改写条件和目标；根据所得关系，求界或解不等式，再检查能否还原为原变量。

适合什么题：目标经整理、消元或换元可写成二次函数，要求最大值或最小值。

把目标整理成一个变量的二次函数，确定变量范围，再根据顶点和区间的位置求最值，最后回代检查。

$x>1$ ，求 $x+\frac{1}{x-1}$ 的最小值。

本页说明例

$x,y>0,xy=4$ ，求 $x+2y$ 的最小值。

两项 $x,2y$ 的积为 $8$ ，下界为 $4\sqrt2$ ； $x=2y$ 与 $xy=4$ 给出 $x=2\sqrt2,y=\sqrt2$ ，下界可达。

基本不等式专题 Q03 · 打开原题

$m,n>0,m+n=2$ ，求 $mn$ 的最大值。

基本不等式专题 Q01 · 打开原题

内容出处：人教 A 版必修第一册第二章