消元 · 数学说

什么时候用

看到什么想到它: 要求含 $x,y$ 的式子的最值或范围，看到题目有两个变量，还给了一个把它们连起来的等式，例如 $x,y>0$ ， $x+y=6$ 。
做完得到什么: 只含一个变量的式子，以及这个变量的取值范围（由原来的「是正数」「分母不为 $0$ 」等条件换算出来）。接下来就能按一元的办法求最值。
要注意: 解出 $y$ 时如果要除以含 $x$ 的式子，先确认它不为 $0$ ；原来 $y>0$ 这类条件要换成对 $x$ 的限制，不能消掉 $y$ 就把它忘了。

从等式里解出一个字母 #
挑一个好解的字母，用等式把它写成另一个字母的式子。例如 $x+y=6$ 两边同减 $x$ ，得 $y=6-x$ 。
如果要除以含 $x$ 的式子，例如由 $y(x+2)=7-x$ 得 $y=\frac{7-x}{x+2}$ ，要先确认 $x+2\ne0$ 。
代进要求的式子 #
把 $y=6-x$ 代入要求的式子： $xy=x(6-x)$ ，现在只剩 $x$ 一个变量。题目里还有别的含 $y$ 的条件时，也要一起代进去。
消元：解出一个变量，代入目标变成一元式
例： $x,y>0$ ， $x+2y+xy-7=0$ ，求 $x+y$ 的最小值。由条件解出 $y$ ，代入后分离成积为定值的两项。

条件二元等式解出表示y = 代入目标一元式

例 $y = \frac{7 - x}{x + 2}$ ⇒ $x + y$ = $x + 2$ + $\frac{9}{x + 2}$ − $3$

消元后，剩下变量的范围跟着改写

图解交互正在加载；正文与题例可直接阅读。
把 y 的限制换成 x 的限制 #
原来 $y>0$ ，代入得 $6-x>0$ ，即 $x<6$ ；再加上 $x>0$ ，所以 $0<x<6$ 。
求出最值后，把取到最值的 $x$ 代回去算出 $y$ ，检查它满足原来的全部条件。

$x,y>0,x+y=6$ ，用 $x$ 表示 $xy$ 。

本页说明例

$x,y>0$ ， $x+2y+xy-7=0$ ，求 $x+y$ 的最小值。

条件整理为 $y(x+2)=7-x$ ， $x+2>0$ ，得 $y=\frac{7-x}{x+2}$ ； $y>0$ 要求 $7-x>0$ ，所以 $0<x<7$ 。
$x+y=x+\frac{7-x}{x+2}=x+\frac9{x+2}-1=(x+2)+\frac9{x+2}-3\ge2\sqrt9-3=3$ 。
取等要 $x+2=3$ ，即 $x=1$ ，在 $(0,7)$ 内；回代得 $y=2$ ，满足原条件，最小值为 $3$ 。

基本不等式专题 Q16 · 打开原题

内容出处：人教 A 版必修第一册第二章