高中数学知识图谱必修一 · 第 2 章方法

二次函数最值法

把目标整理成一个变量的二次函数，确定变量范围，再根据顶点和区间的位置求最值，最后回代检查。

出现在2.2 基本不等式拓展 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式拓展

用到的技能 4

消元换元求二次函数在区间上的最值与值域代数式化简

可选用它的题型 1

和积最值问题

在图谱中查看 ↗

什么时候用

适合什么题: 目标经整理、消元或换元可写成二次函数，要求最大值或最小值。
最后要得到什么: 目标的最值与取到最值的变量值；若边界取不到，说明只有上界或下界。
要注意: 二次项系数不为零；函数的自变量范围必须由原题条件确定，顶点或端点不在范围内时不能当作可取的最值点。

解题步骤

按顺序做。标了条件的技能，只在题目符合那个条件时才用。

1
按需整理、消元或换元
#
利用已知关系把目标化成一个变量的表达式，保留分母非零等限制。
看题目情况选用
- 消元需要利用等式消去一个变量时
- 换元需要把反复出现的整体设为新变量时
- 代数式化简需要展开和合并同类项时
2
确定函数和变量范围
#
写清二次函数的系数及自变量的完整范围；约束中的排除点也要保留。
3
比较顶点与区间求最值
#
根据开口方向、顶点位置和区间端点，求最大值或最小值，并判断能否取到。
这一步用到
- 求二次函数在区间上的最值与值域
4
回代验证原条件
#
还原被消去或替换的变量，把候选值代入原题全部条件，写出最终最值及取值。

背后用到的知识

上面各步骤用到的性质和公式。做一道具体的题，通常只用到其中一部分。

等式的性质 · 同加同减等式的性质 · 等值替换与定义域等式的性质 · 同乘与非零同除函数的值域与最值 · 边界可达性二次函数 · 区间上的值域二次函数 · 开口、对称轴与顶点

例题

1. 定和求积的顶点路线

$m,n>0,m+n=2$ ，求 $mn$ 的最大值。

消去 $n$ 得 $y=m(2-m)=-m^2+2m$ ， $0<m<2$ 。
开口向下，顶点横坐标 $m=1$ 在区间内， $y=1$ 。
回代得 $n=1>0$ ，满足原条件，所以最大值为 $1$ 。

基本不等式专题 Q01 顶点分支 · 打开原题

内容出处：基本不等式专题 Q01、Q09