基本不等式求参法

解题步骤

按顺序做。标了条件的技能，只在题目符合那个条件时才用。

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   判断要最小值还是最大值

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   「$f>m$ 恒成立」要 $f$ 的每个值都大于 $m$，看 $f$ 的最小值；「$f>m$ 有解」只要有一个值大于 $m$，看 $f$ 的最大值。例子中 $3x+2y>m$ 对所有满足条件的 $x,y$ 成立，所以要求 $3x+2y$ 的最小值。

   同时记下不等号带不带等号，最后定边界时要用。

   这一步用到

   • 将恒成立与存在成立转化为值域或最值条件
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   用基本不等式求这个最值

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   按基本不等式法去做：凑出两项、检查一正二定、写出界、解出取等的值。例子中令 $u=x-1$，$v=y-2$，由条件得 $u>0$，$v>0$，$uv=2$；$3x+2y=7+3u+2v\ge7+2\sqrt{6uv}=7+4\sqrt3$。

   取等要 $3u=2v$，与 $uv=2$ 联立得 $u=\frac{2}{\sqrt3}$，$v=\sqrt3$，都大于 $0$，所以最小值 $7+4\sqrt3$ 取得到。

   这一步用到

   • 基本不等式法
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   拿最值和参数比较

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   最值取得到时直接比较：「$f>m$ 恒成立」就是「$f$ 的最小值 $>m$」。例子中 $7+4\sqrt3>m$，即 $m<7+4\sqrt3$。

   最值取不到时要多想一步：例如 $f$ 的值能无限接近 $2$ 却等于不了 $2$，那么 $m=2$ 时 $f>m$ 仍然恒成立，答案是 $m\le2$。

   这一步用到

   • 将恒成立与存在成立转化为值域或最值条件
   • 不等式变形与推导
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   把边界值代回去检验

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   把边界那个数代回原题，看不等式成不成立，决定带不带等号。例子中 $m=7+4\sqrt3$ 时，取 $x=1+\frac{2}{\sqrt3}$，$y=2+\sqrt3$，得 $3x+2y=m$，不满足「$>$」，所以 $m$ 不能等于它，答案是 $m<7+4\sqrt3$。

背后用到的知识

上面各步骤用到的性质和公式。做一道具体的题，通常只用到其中一部分。

例题