数学说

高中数学知识图谱必修一 · 第 2 章题型

二元二次方程约束下的线性式取值范围

已知 x、y 满足一个二次方程，求 x+y 这类一次式能取到的全部值。

出现在2.2 基本不等式拓展

涉及的知识 2

一元二次方程平方的非负性

可选的方法 1

和积换元法
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题型特征

典型题面

实数 x,yx,y 满足 x2+y2−xy=1x^2+y^2-xy=1，求 x+yx+y 的取值范围。

认这类题，看题面里有没有下面几样：

  1. 条件是一个关于 xx、yy 的二次等式，里面有 x2x^2、y2y^2 或 xyxy。

    例中x2+y2−xy=1x^2+y^2-xy=1，左边三项都是二次的。

  2. 要求的是 x+yx+y、x2+y\frac x2+y 这类一次式的取值范围。

    例中求 x+yx+y 的取值范围。

  3. 要的是能取到的全部值，不只是最大值或最小值；x,yx,y 一般没说是正数。

    例中「实数 x,yx,y」；答案是区间 [−2,2][-2,2]，区间里每个值都要真的取得到。

  4. 条件和所求式子把 xx、yy 互换都不变（或先换元后不变），就能用和积换元法。

    例中x,yx,y 互换后，x2+y2−xyx^2+y^2-xy 和 x+yx+y 都不变。

别和它混淆

怎么选方法

可选用的方法

和积换元法

适合什么题：条件和所求式子里把 xx、yy 互换都不变，要求 x+yx+y 或 xyxy 等的范围或最值，例如 x2+y2−xy=1x^2+y^2-xy=1，求 x+yx+y 的范围。

选取两个量，用它们的和与积改写条件和目标；根据所得关系，求界或解不等式，再检查能否还原为原变量。

说明与题例

1. 从和积可行性求完整范围

x2+y2−xy=1x^2+y^2-xy=1，求 x+yx+y 的范围。

  1. 令 s=x+y,p=xys=x+y,p=xy，条件为 s2−3p=1s^2-3p=1，故 p=s2−13p=\frac{s^2-1}{3}。
  2. 实数可行性 s2−4p≥0s^2-4p\ge0 等价于 4−s23≥0\frac{4-s^2}{3}\ge0，得到 −2≤s≤2-2\le s\le2。
  3. 反过来，对这个区间内任意 ss，方程 t2−st+s2−13=0t^2-st+\frac{s^2-1}{3}=0 有实根。取两根为 x,yx,y 即满足原式，故完整范围为 [−2,2][-2,2]。

基本不等式专题 Q28 · 打开原题

2. 缩放后的共同结构

x2+4y2−2xy=1x^2+4y^2-2xy=1，求 x2+y\frac{x}{2}+y 的范围。

  1. 令 u=x,v=2yu=x,v=2y，约束成为 u2+v2−uv=1u^2+v^2-uv=1，目标是 u+v2\frac{u+v}{2}。用和积换元法得范围 [−1,1][-1,1]。

基本不等式专题 Q29 · 打开原题

内容出处：人教 A 版必修第一册第二章