高中数学知识图谱必修一 · 第 2 章题型

代数式比较大小问题

给两个代数式，判断哪个大，或者在什么条件下哪个大。

出现在2.1 等式性质与不等式性质

涉及的知识 3

不等式的性质不等式与实数大小关系平方的非负性

可选的方法 1

作差比较法

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题型特征

典型题面

比较 $(x+2)(x+3)$ 与 $(x+1)(x+4)$ 的大小。

认这类题，看题面里有没有下面几样：

题目给出两个式子，问「比较大小」或「哪个大」。
例中比较 $(x+2)(x+3)$ 与 $(x+1)(x+4)$ 。
两个式子都含字母，没法直接算出数值来比。
例中两个式子都含 $x$ ， $x$ 可以取任意实数。
答案是一个大小关系：可能对所有取值都成立，也可能要按字母的范围分情况。
例中两式相减等于 $2$ ，所以不管 $x$ 取什么，前一个式子都更大。

别和它混淆

要求出使不等式成立的 $x$ 的范围，是解不等式，不是比较不含参数的一元二次不等式求解问题
要求一个式子的最大值或最小值和积最值问题

怎么选方法

可选用的方法

作差比较法

适合什么题：要比较两个式子的大小，或证明一个式子大于（小于）另一个，例如比较 $(x+2)(x+3)$ 与 $(x+1)(x+4)$ 。

要比较两个式子谁大，就用一个减另一个，看差是正、是负还是 0。

说明与题例

1. 展开后得到常数差

比较 $(x+2)(x+3)$ 与 $(x+1)(x+4)$ 。

按“前式减后式”构造差。
展开化简得 $D=2>0$ 。
因此对所有实数 $x$ ，前式恒大于后式。

教材 2.1 例 1

内容出处：人教 A 版必修第一册第二章