不等式变形与推导

操作步骤

1. 先看乘除的数是正是负 #

   动手前先看要乘（除）的是正数、负数还是 $0$。含字母时不要默认它是正的，例如解 $ax>2$ 要两边除以 $a$，就得分 $a>0$、$a<0$、$a=0$ 三种情况。

   $a=0$ 时原式变成 $0>2$，不成立，没有解；除以 $0$ 本身也不允许。

2. 按规则变形，定好方向 #

   两边同加（减）同一个数，方向不变；同乘（除）正数，方向不变；同乘（除）负数，方向改变。例如 $-2x<6$ 两边除以 $-2$，得 $x>-3$。

   接着上面的 $ax>2$：$a>0$ 时 $x>\frac{2}{a}$；$a<0$ 时 $x<\frac{2}{a}$。

3. 取倒数前确认两边符号相同 #

   $A>B>0$ 时 $\frac{1}{A}<\frac{1}{B}$，例如 $3>2$ 得 $\frac{1}{3}<\frac{1}{2}$。两边都是负数时也要改方向：$-2>-3$ 得 $-\frac{1}{2}<-\frac{1}{3}$。

   两边符号相反时不能照搬改方向：$2>-3$，倒数是 $\frac{1}{2}>-\frac{1}{3}$，因为正数的倒数仍是正数，负数的倒数仍是负数，直接按正负比较就行。

   两条数轴：y 越大，它的倒数越小

   例：$x>0$，$y=\frac{2x}{x^2+4}$。拖动 $x$，$y$ 和 $\frac1y$ 总是反向移动，$\frac1y$ 最小时 $y$ 最大。两个数同号时取倒数，大小顺序颠倒。

   例：$x>0$，$y=\frac{2x}{x^2+4}$，$\frac1y=\frac x2+\frac2x$。拖动 $x$，看两个点怎样走：

   $\frac1y=\frac x2+\frac2x\ge2$，$x=2$ 时取等，所以 $y\le\frac12$，最大值是 $\frac12$。

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说明与题例