换元 · 数学说

什么时候用

看到什么想到它: 要化简式子或求最值，看到同一块反复出现，或者分母不是单个字母，例如 $\frac{4}{x-2}$ 、 $\frac1{2m+1}$ ：把这一整块换成一个新字母，式子会简单很多。
做完得到什么: 用新字母写成的条件和式子，新字母的范围（如 $t>0$ ），以及「新字母等于原来的哪一块」这个对应，方便最后换回去。
要注意: 新字母的范围要从原来的范围算出来，例如 $x>2$ 、 $t=x-2$ 得 $t>0$ ；换回去时如果一个 $t$ 对应两个 $x$ （如 $t=x^2$ 时 $x=\pm\sqrt t$ ），两个都要检查。

选定一整块，设成新字母 #
写清新字母代表哪一整块。例如 $x+\frac{4}{x-2}$ 里碍事的是分母 $x-2$ ，令 $t=x-2$ ，则 $x=t+2$ 。
分母不是单个字母时，常把整个分母设成新字母，如 $\frac1{2m+1}$ 中令 $u=2m+1$ 。
所有地方一起换 #
要求的式子和所有条件都要换，不能只换一处： $x+\frac{4}{x-2}=t+\frac4t+2$ 。题目还有别的含 $x$ 的条件时，也要用 $x=t+2$ 代进去。
把完整分母换成新元，条件变成定和
例：正数 $m,n$ 满足 $2m+n=6$ ，求 $\frac1{2m+1}+\frac1{n+1}$ 的最小值。两个分母各设一个新元，条件化为 $u+v=8$ 。

完整分母1令换元u =

例 $u$ = $2 m + 1$ ， $v$ = $n + 1$ ⇒ $u$ + $v$ = $8$

换元后回到定和、配齐次等熟悉结构

图解交互正在加载；正文与题例可直接阅读。
算出新字母的范围，最后换回去 #
$x>2$ 时 $t=x-2>0$ 。求出结果后再换回： $t+\frac4t\ge4$ ， $t=2$ 时取等，对应 $x=t+2=4$ 。
若令 $t=x^2$ ，要记 $t\ge0$ ；换回时 $x=\pm\sqrt t$ ，两个值都要放回原条件检查。

$x>2$ ，令 $t=x-2$ 。

基本不等式专题 Q24 · 打开原题

正数 $m,n$ 满足 $2m+n=6$ ，求 $\frac1{2m+1}+\frac1{n+1}$ 的最小值。

令 $u=2m+1$ ， $v=n+1$ 。范围变为 $u>1$ ， $v>1$ ；条件变为 $u+v=8$ ；目标变为 $\frac1u+\frac1v$ 。
$\frac1u+\frac1v=\frac18\left(\frac1u+\frac1v\right)(u+v)=\frac18\left(2+\frac vu+\frac uv\right)\ge\frac18(2+2)=\frac12$ 。
取等要 $u=v=4$ ，满足 $u,v>1$ ；还原得 $m=\frac32$ ， $n=3$ ，满足 $2m+n=6$ ，最小值为 $\frac12$ 。

基本不等式专题 Q12 · 打开原题

内容出处：人教 A 版必修第一册第二章