含参一元二次不等式分类讨论法

解题步骤

按顺序做。标了条件的技能，只在题目符合那个条件时才用。

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   找出要分情况的分界点

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   先整理成 $ax^2+bx+c>0$（或 $<0$）的样子，找两类分界点：$x^2$ 的系数等于 $0$ 的地方；判别式等于 $0$ 的地方，在它两侧要么由有根变成没根，要么两根谁大换了位置。能因式分解时直接比较两根更省事。

   例子中 $x^2-5ax-6a^2=(x-6a)(x+a)$，两根 $6a$ 与 $-a$ 相等时 $6a=-a$，即 $a=0$，所以以 $a=0$ 为分界。

   这一步用到

   • 代数式化简
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   x² 的系数为 0 时按一次不等式解

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   $x^2$ 的系数等于 $0$ 时，不等式变成一次或常数不等式，单独解。例如 $ax^2+x-1>0$ 中 $a=0$ 时就是 $x-1>0$，解得 $x>1$。

   一次不等式 $bx>c$ 中 $b$ 含参数时，$b$ 的正负也要分开：两边除以负数要变号。

   这一步用到

   • 不等式变形与推导
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   系数不为 0 时按开口和两根大小求解

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   先看开口方向，再看有没有根、两根谁大。开口向上时，「$>0$」取两根之外，「$<0$」取两根之间；开口向下时先两边乘 $-1$ 并变号。

   例子中 $a>0$ 时 $-a<6a$，解为 $x<-a$ 或 $x>6a$；$a<0$ 时 $6a<-a$，解为 $x<6a$ 或 $x>-a$。

   这一步用到

   • 二次函数图像法这种情况下 x² 的系数不为 0 时
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   把各种情况的解集列齐

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   每个解集前写清对应的参数范围，再检查这些范围合起来正好是参数能取的全部值。例子中题目已规定 $a\ne0$，$a>0$ 与 $a<0$ 两种情况已经全部覆盖。

   各种情况下解集写法一样时就不必分开。例如 $(x-m)(x-m-1)<0$ 的两根总有 $m<m+1$，解集统一是 $m<x<m+1$。

背后用到的知识

上面各步骤用到的性质和公式。做一道具体的题，通常只用到其中一部分。

例题